Eigenschappen van machten in vermenigvuldiging

In deze video wil ik een aantal voorbeelden behandelen over de eigenschappen van exponenten. Maar voordat ik dat doe, laten we eerst even terugkijken wat een exponent ook alweer is. Laten we zeggen, ik heb 2 tot de derde macht. Je komt in de verleiding om te zeggen: "Oh, is dat 6?" En dan zeg ik: nee, het is geen 6. Dit betekent 2 keer zichzelf, drie maal. Dus dit is gelijk aan 2 keer 2 keer 2, dat is gelijk aan 2 keer 2 is 4... 4 keer 2 is gelijk aan 8. Als ik je vraag wat 3 tot de tweede macht is, of 3 kwadraat, dat is gelijk aan 3 keer zichzelf, twee maal. Dit is gelijk aan 3 keer 3. Wat gelijk is aan 9. Laten we er nog een paar doen. Ik denk dat je er dan wat gevoel voor krijgt als je ze niet eerder hebt gezien. Zeg je hebt 5 tot de zevende macht. Dat is 5 keer zichzelf, zeven maal. 5 keer 5 keer 5 keer 5 keer 5 keer 5 keer 5. zeven toch? Een, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven. Dit gaat een heel, heel, heel, heel groot getal worden, ik ga dat nu niet berekenen. Als je dat uit je hoofd wil doen, ga je gang. Of gebruik een rekenmachine, maar dit is echt een heel, heel, heel groot getal. Dus een ding dat je al snel doorkrijgt is dat exponenten heel snel groot worden. 5 tot de 17de wordt zelfs een veel, veel groter getal. In ieder geval, dat is een terugblik op exponenten. Laten we iets dieper in de algebra duiken met gebruik van exponenten. Dus wat wordt 3𝑥 Wat wordt 3𝑥 keer 3𝑥 keer 3𝑥? Eén ding dat je moet onthouden over vermenigvuldigingen is dat het niet uitmaakt in welke volgorde je de vermenigvuldiging doet. is dat het niet uitmaakt in welke volgorde je de vermenigvuldiging doet. Dus dit is hetzelfde als 3 keer 3 keer 3 keer 𝑥 keer 𝑥 keer 𝑥. En gebaseerd op wat we net hebben behandeld, dit deel hier, 3 keer 3, maal 3, dat is 3 tot de derde macht. En dit hier, 𝑥 keer zichzelf, drie maal. Dat is 𝑥 tot de derde macht. Dus dit hele geval kan herschreven worden als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde. Of als je weet wat 3 tot de derde is, dit is 9 keer 3, dat is 27. Dit is 27 𝑥 tot de derde macht. Nu kan je zeggen, hey, is 3𝑥 keer 3𝑥 keer 3𝑥, was dat niet 3𝑥 tot de derde macht? Toch? Je vermenigvuldigt 3𝑥 drie maal met zichzelf. En dan zeg ik, ja dat klopt. Dus dit hier, je kan dat interpreteren als 3𝑥 tot de derde macht. Dus dit hier, je kan dat interpreteren als 3𝑥 tot de derde macht. En zomaar opeens, struikelen we over één van de exponentiële eigenschappen. En zomaar opeens, struikelen we over één van de exponentiële eigenschappen. Let op. Wanneer ik iets keer iets heb, en het hele geval is tot de derde macht, dat is gelijk aan elk van deze dingen tot de derde macht met elkaar. Dus 3𝑥 tot de derde is hetzelfde als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde, dat is 27 𝑥 tot de derde macht. Laten we nog een paar voorbeelden doen. Wat als ik je vraag wat 6 tot de derde keer zes tot de zesde macht is? Wat als ik je vraag wat 6 tot de derde keer zes tot de zesde macht is? En dit gaat echt een heel groot getal worden, maar ik wil dit schrijven als een macht van 6. Laat me 6 tot de zesde in een andere kleur schrijven. 6 tot de derde keer 6 tot de zesde, waar is dat gelijk aan? 6 tot de derde keer 6 tot de zesde, waar is dat gelijk aan? Nou, 6 tot de derde, we weten dat is 6 keer zichzelf, 3 maal. Nou, 6 tot de derde, we weten dat is 6 keer zichzelf, 3 maal. Dus dit is 6 keer 6 keer 6. En dan wordt dat keer-- ik doe het in het groen. Misschien doe ik ze beide in het oranje. Dat wordt keer 6 tot de zesde macht. En wat is 6 tot de zesde macht? Dat is zes maal 6 keer zichzelf. Dus dit is 6 keer 6 keer 6 keer 6 keer 6. En nog eentje extra keer 6. Dus wat gaat dit hele getal worden? Het gehele geval-- we vermenigvuldigen 6 keer zichzelf-- hoeveel keer? Eén, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen keer, toch? Drie keer hier en dan nog zes keer hier. Dus we vermenigvuldigen 6 keer zichzelf, negen maal. 3 plus 6. Dus dit is gelijk aan 6 tot de 3- plus 6-de macht, of 6 tot de negende macht. En plots botsen we op een andere exponent eigenschap. Wanneer we exponenten nemen, in dit geval 6 tot de derde, is het getal 6 het grondtal. We nemen het grondtal tot de exponent van 3. Wanneer je hetzelfde grondtal hebt, en je vermenigvuldigt twee exponenten met hetzelfde grondtal, dan kan je de exponenten optellen. Laat me een paar voorbeelden hiervan doen. In magenta. Zeg ik heb 2 kwadraat keer 2 tot de vierde keer 2 tot de zesde. Ik heb hetzelfde grondtal voor hen allemaal, dus ik kan de exponenten optellen. Dit wordt gelijk aan 2 tot de 2 plus 4 plus 6, dat is gelijk aan 2 tot de 12de macht. En hopelijk klinkt dat logisch, want dit wordt 2 keer zichzelf, twee maal, 2 keer zichzelf, vier maal, 2 keer zichzelf, zes maal. Wanneer je ze allemaal vermenigvuldigd, wordt dat 2 keer zichzelf, 12 maal of 2 tot de 12de macht. Laten we het op een wat abstractere manier doen, door variabelen te gebruiken, maar het is hetzelfde idee. Wat is 𝑥 kwadraat, of 𝑥 kwadraat keer 𝑥 tot de vierde? We kunnen de eigenschap gebruiken die we net geleerd hebben. We hebben exact hetzelfde grondtal, 𝑥. Dus dit wordt 𝑥 tot de 2 plus 4-de macht. Het wordt 𝑥 tot de zesde macht. En als je me niet gelooft, wat is 𝑥 kwadraat? 𝑥 kwadraat is gelijk aan 𝑥 keer 𝑥. En als je dat vermenigvuldigt met 𝑥 tot de vierde, je vermenigvuldigt het met 𝑥 keer zichzelf, vier maal. 𝑥 keer 𝑥 keer 𝑥 keer 𝑥. Dus hoeveel keer heb je 𝑥 nu met zichzelf vermenigvuldigd? Nou, een, twee, drie, vier, vijf, zes keer. 𝑥 tot de zesde macht. Laten we er nog een van deze doen. Des te meer voorbeelden je ziet, des te beter. Laten we de andere eigenschap doen, mix en match. Zeg, ik heb 𝑎 tot de derde tot de vierde macht. Ik vertel je de eigenschap en laat je zien waarom het logisch is. Wanneer je iets hebt met een exponent, en dan verhef je dat tot een exponent, kan je de exponenten vermenigvuldigen. Dus dit wordt 𝑎 tot de 3 keer 4-de macht, of 𝑎 tot de 12-de macht. En waarom is dat logisch? Nou, dit hier is 𝑎 tot de derde maal vier keer zichzelf. Dus dit is gelijk aan 𝑎 tot de derde keer 𝑎 tot de derde keer 𝑎 tot de derde keer 𝑎 tot de derde. We hebben hetzelfde grondtal, dus we kunnen deze exponenten optellen. Dus dit wordt 𝑎 tot de 3 keer 4-de, toch? Dit is gelijk aan 𝑎 tot de 3 plus 3 plus 3 plus 3-de macht, wat hetzelfde is als 3 maal 4-de macht of 𝑎 tot de 12-de macht. Een terugblik op de eigenschappen die we tot dusver geleerd hebben in deze video, naast een terugblik op wat een exponent is als ik 𝑥 heb tot de 𝑎-de macht keer 𝑥 tot de 𝑏-de macht, dan is dat gelijk aan 𝑥 tot de macht 𝑎 plus 𝑏 dan is dat gelijk aan 𝑥 tot de macht 𝑎 plus 𝑏 Dat zagen we hier. 𝑥 kwadraat keer 𝑥 tot de vierde is gelijk aan 𝑥 tot de zesde, 2 plus 4. We zagen ook dat als ik 𝑥 keer 𝑦 heb tot de macht 𝑎, dit is hetzelfde als 𝑥 tot de macht 𝑎 keer 𝑦 tot de macht 𝑎. We zagen dat al eerder in deze video. We zagen dat hier. 3𝑥 tot de derde is hetzelfde als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde. 3𝑥 tot de derde is hetzelfde als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde. Dat is wat ik hier zeg. 3𝑥 tot de derde is hetzelfde als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde. 3𝑥 tot de derde is hetzelfde als 3 tot de derde keer 𝑥 tot de derde. En de laatste eigenschap, waar we net tegenaan liepen, als je 𝑥 tot de macht 𝑎 hebt en dat verhef je tot de 𝑏-de macht, dat is gelijk aan 𝑥 tot de macht 𝑎 keer 𝑏. En dat zagen we hier, 𝑎 tot de derde en verhef dat tot de vierde macht is hetzelfde als 𝑎 tot de derde keer vier, of 𝑎 tot de 12-de macht. Dus laten we met deze eigenschappen enkele meer complexe problemen doen. Zeg, we hebben 2𝑥𝑦 kwadraat keer min 𝑥 kwadraat 𝑦 in het kwadraat keer 3𝑥 kwadraat 𝑦 kwadraat. En we willen dit vereenvoudigen. Dit kan je zien als min 1 keer 𝑥 kwadraat keer 𝑦 kwadraat. Dit kan je zien als min 1 keer 𝑥 kwadraat keer 𝑦 kwadraat. Dus als we dit hele ding kwadrateren, dit is als verheffen tot de tweede macht. Dus dit deel hier kan vereenvoudigd worden als min 1 kwadraat keer 𝑥 kwadraat kwadraat, keer 𝑦 kwadraat. En als we dat vereenvoudigen, min 1 kwadraat is gewoon 1, 𝑥 kwadraat kwadraat-- bedenk dat je de exponenten kan vermenigvuldigen-- dus dat is 𝑥 tot de vierde keer 𝑦 kwadraat. Dat is waarin dit middelste gedeelte vereenvoudigd. En laten we zien of we dat kunnen samenvoegen met de andere delen. De andere delen waren 2𝑥𝑦 kwadraat, en dan 3𝑥 kwadraat keer 𝑦 kwadraat. Nu kunnen we doorgaan en hoeven alleen maar alles te vermenigvuldigen. En we leerden bij vermenigvuldigen dat het niet uitmaakt in welke volgorde je dingen vermenigvuldigt. Dus ik kan dit herordenen. We gaan dit gewoon vermenigvuldigen, 2 keer 𝑥 keer 𝑦 kwadraat keer 𝑥 tot de vierde keer 𝑦 kwadraat keer 3 keer 𝑥 kwadraat keer 𝑦 kwadraat. Dus ik kan dit herordenen, en ik doe het zo dat het makkelijk is te vereenvoudigen. Dus ik kan 2 met 3 vermenigvuldigen, en kan ik me bezighouden met de 𝑥 termen. Dan heb ik keer 𝑥 keer 𝑥 tot de vierde macht keer 𝑥 kwadraat. En dan kan ik me bezighouden met de 𝑦 termen, keer 𝑦 kwadraat keer nog een 𝑦 kwadraat keer nog een 𝑦 kwadraat. En waar zijn deze gelijk aan? Nou, 2 keer 3. Je weet wat dat is. Dat is gelijk aan 6. En wat is 𝑥 keer 𝑥 tot de vierde keer 𝑥 kwadraat. Je moet je bedenken dat 𝑥 hetzelfde is als 𝑥 tot de eerste macht. Je moet je bedenken dat 𝑥 hetzelfde is als 𝑥 tot de eerste macht. Iets tot de eerste macht is gewoon dat getal. Dus je weet, 2 tot de eerste macht is gewoon 2. 3 tot de eerste macht is gewoon 3. Dus waar wordt dit gelijk aan? Dit wordt gelijk aan-- we hebben hetzelfde grondtal, 𝑥. We kunnen de exponenten optellen, 𝑥 tot de macht 1 plus 4 plus 2, en ik voeg het toe in de volgende stap. En dan met de 𝑦's, dit is keer 𝑦 tot de macht 2 plus 2 plus 2. En dan met de 𝑦's, dit is keer 𝑦 tot de macht 2 plus 2 plus 2. En wat levert ons dat op? Dat geeft ons 6 𝑥 tot de zevende macht, keer 𝑦 tot de zesde macht. En ik laat je iets zien wat je misschien al weet, maar het is best interessant. En de vraag is, wat gebeurt er als je iets tot de macht nul verheft? Dus als ik zeg 7 tot de macht 0, wat is dat? En ik vertel je nu-- en dit kan erg onnatuurlijk lijken-- dit is gelijk aan 1, of 1 tot de macht nul is ook gelijk aan 1. Iets tot de macht nul, elk niet-nul getal tot de macht nul is gelijk aan 1. En om je een beetje gevoel te geven waarom dat is. Bedenk het als volgt. 3 tot de derde macht, 3 tot de eerste, tweede, derde. We doen het nu met het getal 3. Dus 3 tot de eerste macht is 3. Dat klinkt logisch. 3 tot de tweede macht is 9. 3 tot de derde macht is 27. En we willen natuurlijk weten wat 3 tot de macht 0 is. Denk er eens over na. Elke keer wanneer je een exponent lager gaat. Elke keer wanneer je de exponent verminderd met 1, dan deel je door 3. Om van 27 naar 9 te gaan deel je door 3. Om van 9 naar 3 te gaan, deel je door 3. Dus om van dit exponent naar dat exponent te gaan, misschien moeten we opnieuw door 3 delen. En daarom is alles tot de macht nul, in dit geval 3 tot de macht nul, is 1. Tot ziens in de volgende video.