Ander bewijs van de stelling van Pythagoras

Misschien heb je gemerkt dat ik nogal bezeten ben om de stelling van Pythagoras op zoveel verschillende manieren te bewijzen ... als ik kan. Laten we er nog een doen. En in al deze bewijzen beginnen we... met het tekenen van een rechthoekige driehoek. Ik maak hem zo, dat de schuine zijde ... aan de onderkant staat. Dit is dus de schuine zijde van mijn rechthoekige driehoek. Ik teken hem zo groot mogelijk, zodat we ruimte hebben om te werken. Dit wordt dus mijn schuine zijde. En stel dat dit dan de langste zijde is, die niet de schuine zijde is. We kunnen twee even lange zijden maken. Maar ik teken deze zo, dat hij net iets langer lijkt. Laten we deze zijdelengte a noemen. En dan tekenen we hier deze zijde. Het moet een rechthoekige driehoek zijn. Dus misschien staat hij hier. Dat is een zijde met lengte b. Laat ik de lengte a iets verlengen. Dit lijkt inderdaad een rechthoekige driehoek. En hier is onze hoek van 90 graden. Het eerste dat ik dus ga doen, is deze driehoek te nemen, en hem dan 90 graden tegen de klok in te draaien. Als ik deze 90 graden tegen de klok in draai - ik draai hem echt in deze richting - dan teken ik een congruente versie van deze. Ik draai hem dus 90 graden. En als ik dat doe, dan komt de schuine zijde recht omhoog te staan. Ik doe mijn best om hem op het oog ... even groot te maken. Deze zijde met lengte a ziet er dan zo uit. Hij loopt dan evenwijdig aan deze. Eens kijken hoe goed ik dat kan tekenen. Dit is dus de zijde met lengte a, En als we netjes werken, dan zou dit 90 graden zijn. De hoek tussen de overeenkomstige zijden blijft in ieder geval 90 graden. Dit wordt 90 graden. En dit wordt ook 90 graden. Laat ik nu zijde b tekenen. Dat komt er dus ongeveer zo uit te zien, de zijde met lengte b. En nu staat de rechte hoek hier. Ik heb dus alleen maar deze met 90 graden gedraaid. Nu wil ik een parallellogram maken. Ik ga een parallellogram maken. Laat ik de zijden labelen. Dit is dus de hoogte c. Laat ik dat met wit doen. Dit is de hoogte c. Nu wil ik vanaf dit punt ook met c omhoog gaan. Dit is nu dus ook de hoogte c. En wat is deze lengte? Wat is de lengte van dit punt tot dat punt? Nou, dit is parallellogram. Deze lijn hier loopt evenwijdig aan deze lijn. Hij houdt dezelfde afstand. En omdat hij even ver in de x richting gaat, oftewel horizontaal, en inde verticale richting, is dit dezelfde lengte. Dit wordt dus ook lengte a. De volgende vraag is: wat is de oppervlakte van het parallellogram ... dat ik zojuist gemaakt heb? Laten we dit deel van de tekenen opnieuw tekenen, zodat het parallellogram vlak komt te liggen. Dit is dus lengte a. Dit is lengte c. Dit is lengte c. En als je naar dit stuk kijkt, dan krijg je een aanwijzing. Ik gebruikt deze groene kleur. De hoogte van het parallellogram staat hier gegeven. Deze zijde loopt evenwijdig aan de basis. Dus is de hoogte van het parallellogram ook gelijk aan a. Wat is dus de oppervlakte? Nou, de oppervlakte van een parallellogram... is gewoon de basis keer de hoogte. De oppervlakte van dit parallellogram ... is dus a kwadraat. Laten we nu hetzelfde doen, maar nu draaien weer de oorspronkelijke rechthoekige driehoek ... de andere kant op. We draaien hem dus 90 graden met de klok mee. In plaats van om dit draaipunt, draaien we hem om dat draaipunt. Wat krijgen we dan? De zijde met lengte c kom na rotatie ... hier te staan. Ik probeer hem zo goed mogelijk te tekenen. Deze zijde heeft dus lengte c. De zijde met lengte b zal er ongeveer zo uit komen te zien. Die loopt dan evenwijdig aan deze. Dit wordt een rechthoekige driehoek, dus laat ik hem zo tekenen. Dit ziet er goed uit. En de zijde met lengte a komt hier te staan. Dit is dus a. En dit hier is b. En ik wou b in blauw hebben, laat ik b dus in blauw doen. En deze rechte hoek komt na de rotatie hier terecht. Nu doen we dezelfde opgave. Laten we hier een parallellogram tekenen. Dit is dus hoogte c. En dit is ook hoogte c. En net als hiervoor, als dit lengte b is, dan is dit ook lengte b. Het zijn evenwijdige lijnen. We gaan even ver in horizontale richting, en even ver omhoog in verticale richting. Dat weten we, want ze lopen evenwijdig. Dit is dus lengte b. En dat is dus lengte b. Wat is nu de oppervlakte van dit parallellogram? Wat wordt de oppervlakte van het parallellogram? Laten we het nogmaals afbeelden. We tekenen hem vlak liggend. Dus dit is deze zijde. Dan heb je hier nog een andere zijde. Ze hebben allebei lengte b. En dan heb je de zijden met lengte c. Dat is dus c. Dat is c. Wat is zijn hoogte? Nou, dat kan je hier zien. De hoogte is ook b. Dat staat hier. We weten dat dit 90 graden is. We deden een rotatie van 90 graden. Dus zo hebben we dit ding getekend. Aangezien de oppervlakte van een parallellogram gewoon basis keer hoogte is, is de oppervlakte van dit parallellogram b kwadraat. Nu wordt het interessant. Nu ga ik dit stuk knippen en plakken, want volgens mij is dit ... het meest interessante stuk van ons diagram. Eens kijken hoe goed ik dit kan selecteren. Laat ik dit stuk hier selecteren. Dan kopieer ik het. En ik scroll naar beneden, en dan plak ik hem. Het is duidelijk voor het diagram dat we hier gemaakt hebben, wat de oppervlakte ervan is. Laat ik er delen van uitwissen. Ik neem zwart om dit wat op te schonen. Laat ik dit netter maken, dan krijgen we het stuk dat we willen zien. Ik wis dit allemaal uit, en dit hier ook. En laat ik eigenlijk dit ook uitwissen, al wisten we dat deze lengte c was. Ik teken dat hier. Dit kwam uit onze oorspronkelijke tekening. We weten dat deze lengte c is. We weten dat deze hoogte c is. We weten dat dit hier gelijk is aan c. Maar mijn vraag is: wat is de oppervlakte van de gecombineerde figuur? Nou, het is gewoon a kwadraat + b kwadraat. Laat ik dat opschrijven. De oppervlakte is gewoon a kwadraat + b kwadraat, de oppervlakte van de twee parallellogrammen. Hoe kunnen we de stukken van deze figuur opnieuw indelen, opdat we het in termen van c kunnen uitdrukken? Misschien kwam het in je op toen ik deze lijn tekende. Ik doe dat ik het wit. We weten dat dit stuk een lengte van c heeft. Dat komt van onze oorsponkelijke tekening. Oeps. Ik was mijn tekening kwijt. Dit heeft een lengte c. En dat heeft een lengte c. En dit hier heeft een lengte c. En nu pak ik deze bovenste rechthoekige driehoek, die congruent is aan onze oorspronkelijke rechthoekige driehoek, en breng hem naar beneden. Vergeet niet, de hele oppervlakte, inclusief deze rechthoekige driehoek is gelijk aan a kwadraat plus b kwadraat. Maar nu nemen we dit stuk niet mee, wat onze oorspronkelijke driehoek was. Wat gebeurt er als we dat wegnemen. Laat ik dat wegknippen, en daarna plakken. Ik heb alleen maar deze driehoek verplaatst. Nu ziet het er zo uit. Ik heb de oppervlakte van b kwadraat alleen maar anders ingedeeld, Dus deze hele oppervlakte van dit hele vierkant... is nog steeds a kwadraat + b kwadraat. a kwadraat is deze oppervlakte, Het was eerst een parallellogram. Ik heb dat bovenste stuk van het parallellogram beneden gezet. b kwadraat is deze hele oppervlakte. Wat is dit nu in termen van c? Nou, we weten dat dit hele ding een vierkant van c bij c is. Dus de oppervlakte in termen van c is gewoon: c kwadraat. Dus a kwadraat + b kwadraat is gelijk aan c kwadraat. En nogmaals hebben we de stelling van Pythagoras bewezen.