Huidige tijd:0:00Totale duur:9:03

Videotranscript

Ik ga de stelling van Pythagoras bewijzen zoals de Indiase wiskundige Bhaskara in de 12de eeuw heeft gedaan. we starten met een vierkant. we starten met een vierkant. eens zien of ik dat kan ik teken een beetje onder een hoek dat maakt het makkelijker vor mij Dus ik teken iets dat lijkt ongeveer op een vierkant. op een vierkant. Dat ziet er ok uit. Ik neem aan het is een vierkant. Dus dit is een rechte hoek. Dus dit is een rechte hoek. Dus dit is een rechte hoek. Dus dit is een rechte hoek. De lengtes zijn allemaal gelijk. Ik noem ze c. In geel. Dus alle zijden hebben lengte c. Nu ga ik hierin 4 driehoeken maken. in dit vierkant. Dat doe ik door een lijn recht naar beneden te tekenen zodat ik zo'n driehoek krijg Dus recht naar beneden en hier naar rechts Omdat dit recht naar beneden en dicht naar rechts is, is dit een rechte hoek. Dan vanaf deze hoek ga ik recht omhoog. en omdat deze recht omhoog en deze recht opzij is is dit een rechte hoek. En dan vanuit deze hoek hier een lijn horizontaal naar links een lijn horizontaal naar links en dus is dit ook een rechte hoek. en deze hier is ook een rechte hoek. We hebben nu in onzs vierkant 4 driehoeken gemaakt. In in het midden iets dat lijkt op een rechthoek of zelfs vierkant. We hebben nog niet bewezen dat dit een vierkant is. Ik vraag me af of deze driehoeken congruent zijn. Hun hypotenusa heeft in ieder geval dezelfde lengte. Alle hypotenusa of is het meervoud hypotenusi? hypotenusas? hebben lengte c. Deze zijde tegenover de rechte hoek is altijd c. Dus als alle andere hoeken ook hetzelfde zijn, zijn ze congruent. Als alle hoeken hetzelfde zijn en de corresponderende zijden zijn ook congruent dan zijn de driehoeken ook congruent. Als deze hoek theta noemen Als deze hoek theta noemen moet deze 90 min theta zijn. omdat ze complementair zijn. Omdat ze samen de rechte hoek van dit vierkant vormen. Dit is 90 min theta We weten dat deze hoek en deze hoek samen 90 moeten zijn omdat 180 min 90 ook 90 graden is. Dus weten we dat deze hoek theta en deze 90 min theta is. Je weet het vast al Dit is 90 min theta, dit is theta en als dit theta is, dan deze 90 min theta. als dit theta is, dan deze 90 min theta. en dan is deze 90 min theta Dus in alle 4 de driehoeken zijn de drie hoeken theta, 90 min theta en 90 graden. Dus hebben ze allemaal dezelfde hoek en zijn ze hetzelfde en hun hypotenusa ook. en zijn ze hetzelfde en hun hypotenusa ook. Dus alle 4 de driehoeken zijn congruente driehoeken. Dus nu we dit weten, noemen we deze lange zijden zijde b. deze lange zijden dus deze hier noem ik kleine letter b. en de korte zijden hier, hier en hier en hier noem ik lengte a. Dus deze hoogte hier is lengte a. Nu gaan we iets interessants doen. Wat is de oppervlakte van het hele vierkant in termen van c? Wat is de oppervlakte van het hele in termen van c? Dat is simpel Dat is c in het kwadraat. Dus dit oppervlak is c kwadraat. nu ga ik twee van deze driehoeken verplaatsen en een oppervlakte in termen van a's en b's maken. en komen we hopelijk uit op de stelling van Pythagoras en om dat te doen en ons uitgangspunt niet te verliezen want dat is belangrijk. kopieer ik dit hele ding. zodat het niet van het bord afvalt. zodat het niet van het bord afvalt. knippen en plakken Dus dit is de oorspronkelijke tekening. en nu - ik haal dit weg. en nu - ik haal dit weg. en nu - ik haal dit weg. Nu ga ik dit verschuiven dat is het leuke deel. Deze driehoek hier linksboven ga ik verschuiven tot onder de onderste rechthoek. Door te knippen en plakken. even kijken hoe ik dat doe zo? knippen en dan plakken Dus deze driehoek plak ik daar Even de lijnen weer invullen Dus we hadden hier een lijn en daar ook. en deze van boven naar beneden en deze van links naar rechts. Nu heb ik dus dit deel verplaatst naar hier. En nu ga ik de rechter driehoek bovenaan naar links onder verschuiven. Dus i verschuif precies hetzelfde deel. Dus laat me het zo goed mogelijke tekenen Dus laat me het zo goed mogelijke tekenen knippen en dan plakken hierheen schuiven terwijl ik dat deed verloor ik een stukje, even fixen Dus schoof ik het hierheen Dus deze driehoek staat nu hier. En deze hier. Het middelste vierkant is nu hier. Zo heb ik het nu verschoven. Nu is mijn vraag aan jou, hoe kunnen we het oppervlak van deze figuur, dat exact hetzelfde is als het oude nu formuleren? Ik heb immers alleen maar verschoven. Hoe ziet dat er in termen van a en b uit? Het belangrijkste is de lengte van deze onderste lijn. Wat is daarvan de lengte? Dit hier is lengte b dit hier lengte a. Dus de hele lengte is a plus b Interessant! En deze lengte hier is hetzelfde als deze lengte hier was ook a. Dus kunnen we een a bij a oppervlak maken. Dus kunnen we een a bij a oppervlak maken. Dus dit vierkant hier is a bij a. en heeft oppervlakte a kwadraat. Even in een ander kleur. deze oppervlakte is a kwadraat. En wat is dan de oppervlakte van de rest? Als dit a is, dan is dit ook a. Als deze hele lijn a plus b is dan weten we wat er over is. nadat we de a hier vanaf halen Als dit a plus b is, en dit a dan is dit hier b. En dus de oppervlakte van deze nieuwe figuur al het gearceerde is b kwadraat Dus dit oppervlak is b kwadraat Dus het hele oppervlak is a kwadraat plus b kwadraat en gelijk aan de oppervlakte van deze die we verschoven hebben Dus dat is gelijk aan c kwadraat Dus alles klopt en Khaskara heeft een mooi bewijs van de stelling van Pythagoras geleverd!