Huidige tijd:0:00Totale duur:9:52

Bewijs van de stelling van Pythagoras met behulp van gelijkvormigheid

Videotranscript

We hebben hier een rechthoekige driehoek. En het is een rechhoekige driehoek omdat hij een hoek van 90 graden heeft ofwel een rechte hoek. En het is een rechhoekige driehoek omdat hij een hoek van 90 graden heeft ofwel een rechte hoek. Nu hebben we een naam voor de langste zijde van een rechthoekige zijde, Nu hebben we een naam voor de langste zijde van een rechthoekige zijde, en dat is de zijde tegenover de hoek van 90 graden en die noemen we de hypotenusa. en dat is de zijde tegenover de hoek van 90 graden en die noemen we de hypotenusa. Het is een bijzonder woord voor zoiets simpels wat gewoon de langste zijde van een rechthoekige driehoek is of de zijde tegenover de rechte hoek. wat gewoon de langste zijde van een rechthoekige driehoek is of de zijde tegenover de rechte hoek. En het is goed dat te weten voor het geval iemand de hypotenusa noemt. En het is goed dat te weten voor het geval iemand de hypotenusa noemt. Dan weet je dat ze het over deze zijde hebben, de langste zijde tegenover de 90 graden hoek. Wat ik nu in deze video wil doen is een beroemde relatie bewijzen. En je vermoedt misschien al waar dit naar toe gaat. Een hele beroemde relatie tussen de lengtes van de zijdes van een rechthoekige driehoek. Een hele beroemde relatie tussen de lengtes van de zijdes van een rechthoekige driehoek. Dus laten we zeggen dat we de lengte AC vanaf nu lengte a gaan noemen. Dus laten we zeggen dat we de lengte AC vanaf nu lengte a gaan noemen. De lengte BC noemen we dan lengte b. Ik gebruik hoofdletters voor punten en normale letters voor lengtes. En de lengte van de hypotenusa, ook wel AB, die noemen we lengte c. Nu gaan we kijken of we een verband kunnen vinden tussen a, b en c. Nu gaan we kijken of we een verband kunnen vinden tussen a, b en c. En om dat te doen zal ik eerst nog een stuk lijn tekenen En om dat te doen zal ik eerst nog een stuk lijn tekenen tussen C en de hypotenusa. En die teken ik zo dat ze kruisen in een rechte hoek. En die teken ik zo dat ze kruisen in een rechte hoek. En dat kan je altijd doen. En dit punt hier noemen we dan D. En dit punt hier noemen we dan D. Je vraagt je nu misschien af waarom dit altijd kan? Je kunt je voorstellen dat we deze hele driehoek draaien Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen. Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen. Dit is geen vast bewijs maar het geeft je een idee waarom je altijd zo'n punt kunt tekenen. Nu heb ik hem gedraaid. Dus nu zitten we op onze hypotenusa. Dit is nu punt B en dit is punt A. Dus we hebben dat ding helemaal omgedraaid. Dit is punt C. Je kunt je nu voorstellen dat als je een steen met een touw eraan laat vallen vanaf punt C, Dit is punt C. Je kunt je nu voorstellen dat als je een steen met een touw eraan laat vallen vanaf punt C, dan zou die de hypotenusa raken met een rechte hoek. Dus dat is alles wat we hebben gedaan om punt D van lijn CD te bepalen. Dus dat is alles wat we hebben gedaan om punt D van lijn CD te bepalen. En de reden waarom we dit gedaan hebben is dat we allerlei verbanden kunnen vinden En de reden waarom we dit gedaan hebben is dat we allerlei verbanden kunnen vinden tussen gelijkvormige driehoeken. Omdat we hier nu drie driehoeken hebben. We hebben driehoek ADC, driehoek DBC, en we hebben de originele grotere driehoek. En hopelijk kunnen we gelijkvormigheid bepalen tussen deze driehoeken. Eerst zal ik je laten zien dat ADC gelijkvormig is aan de grotere. Omdat beiden een rechte hoek hebben. ADC heeft hier een rechte hoek. Als deze hoek 90 graden is, dan moet deze hoek ook 90 graden zijn. Ze zijn aanvullend. Ze moeten optellen tot 180. En dus hebben beiden een rechte hoek. Dus de kleinere heeft een rechte hoek. De grotere heeft duidelijk ook een rechte hoek. Daar zijn we begonnen. En zij delen beide deze hoek hier, hoek DAC of BAC, hoe je die ook wilt noemen. hoek DAC of BAC, hoe je die ook wilt noemen. Dus kunnen we het volgende opschrijven: ik begin met de kleinere driehoek ADC. Ik zal hem even inkleuren. Dit is de driehoek waar we het over hebben. Driehoek ADC. En ik van de blauwe hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder naam in de driehoek ADC. Deze rechte hoek geldt niet voor die hoek daar. Die geldt voor de grotere driehoek. Dus we kunnen zeggen dat driehoek ADC gelijkvormig is met de driehoek ACB. Nogmaals, we beginnen met de blauwe hoek A. Toen gingen we naar de rechte hoek. Dus moeten we weer naar de rechte hoek toe. Dus is dit ACB. Dus is dit ACB. En omdat ze gelijkvormig zijn, kunnen we een verband opstellen over de lengtes van de zijdes. En omdat ze gelijkvormig zijn, kunnen we een verband opstellen over de lengtes van de zijdes. Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval. Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval. Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval. Wij weten bijvoorbeeld dat verhouding van overeenkomstige zijdes constant blijft in dit geval. Dus kunnen we de verhouding van de hypotenusa van de kleinere driehoek nemen. Dus kunnen we de verhouding van de hypotenusa van de kleinere driehoek nemen. De hypotenusa is AC. Dus AC gedeeld door de hypotenusa van de grotere, AB, wordt hetzelfde als een van de benen, AD,... wordt hetzelfde als een van de benen, AD,... En ik neem overeenkomstige punten uit beide driehoeken dus is dit AD gedeeld door AC. En ik neem overeenkomstige punten uit beide driehoeken dus is dit AD gedeeld door AC. Je kunt zelf naar deze driehoeken kijken en laten zien dat punt AD het punt is tussen de blauwe en de rechte hoek. dat punt AD het punt is tussen de blauwe en de rechte hoek. Sorry, zijde AD zit tussen de blauwe en de rechte hoek. Zijde AC zit tussen de blauwe en de rechte hoek van de grotere driehoek. Dus deze zijn allebei van de grotere driehoek. En dit zijn de overeenkomstige zijdes van de kleinere driehoek. En als je dat verwarrend vindt om te zien kan je de overeenkomstige punten zoeken zolang je de gelijkvormigheid correct benoemt. kan je de overeenkomstige punten zoeken zolang je de gelijkvormigheid correct benoemt. AC komt overeen met AB van de grotere driehoek. AD in de kleinere driehoek komt overeen met AC van de grotere driehoek. AD in de kleinere driehoek komt overeen met AC van de grotere driehoek. En we kunnen AC herschrijven als a. AC is a. We hebben geen label voor AD of AB. Sorry, we hebben wel een label voor AB. Dat is de c hier. We hebben geen label voor AD. Laten we AD dan d noemen. dus d is van toepassing op deze zijde hier. c is van toepassing op de hele zijde. En dan noemen we DB lengte e. Dat maakt het voor ons iets simpeler. Dus AD noemen we gewoon d. En dus hebben we a over c is gelijk aan d over a. Als we dit kruislings vermenigvuldigen krijg je a keer a, wat gelijk is aan a kwadraat, is gelijk aan c keer d, hier cd genoemd. Dat is een interessant resultaat! Eens kijken wat we nu met de andere driehoek kunnen doen. Eens kijken wat we nu met de andere driehoek kunnen doen. Met deze driehoek dus. Nogmaals, deze heeft een rechte hoek. De grotere heeft een rechte hoek. En beiden delen deze hoek hier. Dus bij overeenkomstige hoeken zijn beide hoeken gelijk aan elkaar. Dus bij overeenkomstige hoeken zijn beide hoeken gelijk aan elkaar. Bij driehoek BDC gingen we van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label. Bij driehoek BDC gingen we van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label. Dus driehoek BDC is gelijk aan... Nu kijken we naar de grotere driehoek waar we beginnen in de roze hoek B. Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A. Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A. Nu gaan we naar de rechte hoek C en vervolgens A. BCA. Van de roze hoek naar de rechte hoek naar de hoek zonder label, in ieder geval vanuit dit gezichtspunt. Hiervoor had deze een blauwe label. Laten we nu weer een verband opstellen. We kunnen zeggen dat de verhouding van de kleinere driehoek BC gedeeld door BA, We kunnen zeggen dat de verhouding van de kleinere driehoek BC gedeeld door BA, let op we nemen weer van beide de hypotenusa, BC gedeeld door BA is gelijk aan BD... Die doe ik in een andere kleur. BD. Dus dit is één van de benen. BD. BD gedeeld door BC. Ik neem de overeenkomende hoekpunten. Gedeeld door BC. En nogmaals, we weten dat BC hetzelfde is als b. BC is b. BA is c. BA is c. En BD hebben we gedefinieerd als e, Dus dit is e. Nu kunnen we weer kruislings vermenigvuldigen en dan krijgen we b keer b, en ik heb dit al eerder in filmpjes verteld, kruislings vermenigvuldigen is hetzelfde als beide kanten met beide noemers vermenigvuldigen. kruislings vermenigvuldigen is hetzelfde als beide kanten met beide noemers vermenigvuldigen. b keer b is b kwadraat wat gelijk is aan ce. En nu kunnen we iets interessants doen. We kunnen deze twee verhoudingen bij elkaar optellen. Ik zal deze omschrijven. dus b kwadraat is gelijk aan ce. Als we de linkerkanten optellen, krijgen we a kwadraat plus b kwadraat. a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan cd plus ce. a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan cd plus ce. En dan hebben we c in deze twee termen staan dus kunnen we die isoleren. We kunnen de c isoleren. Dit wordt gelijk aan c keer (d + e) Dit wordt gelijk aan c keer (d + e) Wat is nu d plus e? d is deze lengte en e is deze lengte. Dus d plus e wordt eigenlijk samen ook c. Dus wordt dit c. Dan heb je c keer c wat hetzelfde is als c kwadraat. Dan heb je c keer c wat hetzelfde is als c kwadraat. En nu hebben we een interessante relatie te pakken. We hebben a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat. Ik zal het herschrijven. a kwadraat. Ik zal het met een nieuwe kleur doen. Ik zal het opnieuw schrijven. Dus we hebben vastgesteld dat a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat. Dus we hebben vastgesteld dat a kwadraat plus b kwadraat is gelijk aan c kwadraat. En dit is een algemene rechthoekige driehoek. Dit is geldig voor alle rechthoekige driehoeken. We hebben net vastgesteld dat de som van de kwadraten van de benen gelijk moet zijn aan het kwadraat van de hypotenusa. En dat is waarschijnlijk één van de meest beroemde theorieën in de wiskunde En dat is waarschijnlijk één van de meest beroemde theorieën in de wiskunde genoemd naar Pythagoras. Ik weet niet of hij de eerste is die dit verzonnen heeft maar het wordt de theorie van Pythagoras genoemd. maar het wordt de theorie van Pythagoras genoemd. En dit is de basis voor een groot deel van de geometrie die we gaan behandelen. En dit is de basis voor een groot deel van de geometrie die we gaan behandelen. En het vormt een basis voor veel van trigonometrie die we gaan doen. En het vormt een basis voor veel van trigonometrie die we gaan doen. Het is een hele handige manier om als je twee zijdes van een driehoek weet je de derde altijd kunt vinden.