Garfields bewijs van de stelling van Pythagoras

In deze video gaan we dieper in op het bewijs van de stelling van Pythagoras dat James Garfield ontdekte in 1876. In feite was hij helemaal geen professionele wiskundige James Garfield was de twintigste president van de Verenigde Staten van Amerika Hij werd verkozen als president in 1880 en startte zijn officiële taak als president in 1881 Hij maakte dit bewijs terwijl hij deel uitmaakte van het Huis van Afgevaardigden Abraham Lincoln was dus niet de enige president van de Verenigde Staten die zich graag bezig hield met geometrie. Garfield begon met het tekenen van een rechthoekige driehoek -- ik ga mijn best doen om er zelf een te tekenen -- Deze zijde van de driehoek heet "b" En deze zijde geven we de naam "a" De schuine zijde ofwel, de hypothenusa, geven we de naam "c". Momenteel heb ik een rechthoekige driehoek getekend Door dit symbool in de hoek te tekenen maak ik het duidelijk dat het een rechte hoek is Door de eerste driehoek te spiegelen en te draaien maakte hij een driehoek die congruent is aan de eerste driehoek Dit ga ik nu zelf tekenen. We starten met zijde b die in het verlengde ligt van zijde a. Zijde b start waar zijde a eindigt. Nu heb ik zijde b getekend Nu heb ik zijde b getekend Nu heb ik zijde b getekend Dan tekenen we zijde a die loodrecht staat ten opzichte van zijde b. En dan tekenen we zijde c. En dan tekenen we zijde c. De eerste vraag is nu, ...hoe groot is de hoek tussen de twee zijdes "c"? Hoe groot is deze onbekende hoek? Hoe groot is deze onbekende hoek? Het ziet eruit alsof we het kunnen raden, ...maar kunnen we ook bewijzen ...wat we denken dat het is? As we naar de eerste driehoek kijken en we noemen deze hoek "Thèta". Wat is dan de hoek tussen ...zijdes a en c? Hoe groot gaat deze hoek dan zijn? De som van "Thèta" en deze hoek moet 90 graden zijn De som van "Thèta" en deze hoek moet 90 graden zijn Want de recht hoek is al 90 graden. En de totale som van de hoeken van een driehoek is 180 graden En de totale som van de hoeken van een driehoek is 180 graden Dus deze twee hoeken moeten samen 90 graden zijn En deze hoek is dan 90 graden min "Thèta" Aangezien de tweede driehoek congruent is Aangezien de tweede driehoek congruent is is de overeenkomstige hoek ook gelijk aan "Thèta" is de overeenkomstige hoek ook gelijk aan "Thèta" is de overeenkomstige hoek ook gelijk aan "Thèta" De andere hoek is dus gelijk aan 90 graden min "Thèta" Omdat deze hoek gelijk is aan "Thèta" ...en de andere 90 min "Thèta". Hoe groot is deze hoek? Het totaal van de hoeken is 180 graden. "Thèta" plus 90 min "Thèta" ...én onze onze onbekende hoek zijn samen 180 graden We kunnen de "Thèta's" dus schappen We kunnen de "Thèta's" dus schappen 90 plus onze onbekende hoek is samen 180 graden. Door van beide getallen 90 af te trekken tonen we dat onze onbekende hoe 90 graden is. tonen we dat onze onbekende hoe 90 graden is. Laat me dit duidelijk maken want dit gaat zo meteen nog nuttig zijn voor ons want dit gaat zo meteen nog nuttig zijn voor ons We zijn nu zeker dat deze hoek 90 graden is. Een rechte hoek. Nu gaan we een trapezium tekenen. Nu gaan we een trapezium tekenen. We weten dat de bovenste zijde "a" ...evenwijdig is aan de onderste zijde "b". ...evenwijdig is aan de onderste zijde "b". Ik teken een rechte lijn omhoog ...en verbind de twee zijdes met een nieuwe lijn. ...en verbind de twee zijdes met een nieuwe lijn. De oppervlakte van dit trapezium ...kunnen we op verschillende manieren berekenen. Ten eerste, met de formule van een trapezium Ten eerste, met de formule van een trapezium en ten tweede als som van de 3 driehoeken. We starten met de formule van een trapezium. Hoe berekenen we de oppervlakte van een trapezium? Wel, de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan ... de hoogte, dat is (a+b) ... de hoogte, dat is (a+b) ... de hoogte, dat is (a+b) ...vermenigvuldigd met ...het gemiddelde van de bovenste en onderste zijde ...het gemiddelde van de bovenste en onderste zijde ...het gemiddelde van de bovenste en onderste zijde Dus de hoogte maal de helft van "a" plus "b" Dus de hoogte maal de helft van "a" plus "b" We nemen de hoogte maal het gemiddelde van de onderste en bovenste zijde maal het gemiddelde van de onderste en bovenste zijde Dat geeft je de oppervlakte van een trapezium. Nu, hoe kunnen we de oppervlakte van de drie driehoeken berekenen? Het maakt niet uit hoe we de oppervlakte berekenen zolang als we juist rekenen, zullen we dezelfde uitkomst verkrijgen. Hoe kunnen we totale oppervlakte ook berekenen? Laat ons beginnen met de oppervlakte van de twee rechthoekige driehoeken De oppervlakte van één driehoek is gelijk aan 1/2 van "a" maal "b" De oppervlakte van één driehoek is gelijk aan 1/2 van "a" maal "b" Maar we hebben twee zulke driehoken Maar we hebben twee zulke driehoken dus vermenigvuldigen we met twee. Dus twee keer de helft van a*b Nu hebben we de oppervlakte van de onderste ...en bovenste driehoek berekend. Wat is de oppervlakte van de grote groene driehoek? Wat is de oppervlakte van de grote groene driehoek? Wat is de oppervlakte van de grote groene driehoek? Wat is de oppervlakte van de grote groene driehoek? Dat is de helft van "c" maal "c". Dus plus één tweede maal "c" kwadraat Laat ons dit nu vereenvoudigen ...en je zou al kunnen raden waar we naartoe gaan. ...en je zou al kunnen raden waar we naartoe gaan. We kunnen dit herschrijven We kunnen dit herschrijven Dus één tweede maal (a+b) kwadraat ...is gelijk aan twee keer een half dus dat is gelijk aan één. Dus het is gelijk aan "a" maal "b" plus één tweede c kwadraat. plus één tweede c kwadraat. Ik houd niet van breuken aan beide kanten dus ik zal beide kanten met 2 vermenigvuldigen. Links houd ik "a" plus "b" kwadraat over Links houd ik "a" plus "b" kwadraat over Links houd ik "a" plus "b" kwadraat over ...en rechts houd ik 2ab over. ...en rechts houd ik 2ab over plus... - ik probeer de juiste kleuren te gebruiken - ...plus 2 keer de helft van "c" kwadraat. Dat vereenvoudigen we naar "c" kwadraat. Wat gebeurt er als je (a+b) kwadraat uitrekent? Wat gebeurt er als je (a+b) kwadraat uitrekent? Wat gebeurt er als je (a+b) kwadraat uitrekent? Dat is "a" kwadraat plus 2ab plus "b" kwadraat Dat is "a" kwadraat plus 2ab plus "b" kwadraat Aan de rechterkant verandert er niets. Aan de rechterkant verandert er niets. Dus is de rechterkant nog steeds hetzelfde. Dat is interessant! Kunnen we dit vereenvoudigen? Bijvoorbeeld door iets van beide kanten af te trekken? Zeker! We hebben 2ab aan de linkerkant ...en 2ab aan de rechterkant. We trekken 2ab af van beide kanten Wat blijft er nu over? De stelling van Pythagoras! Dat is "a" kwadraat plus "b" kwadraat is gelijk aan .."c" kwadraat Heel cool! En dat hebben we te danken aan de twintigste president ...van de VS, James GArfield De stelling van Pythagoras bestond al meer dan tweeduizend jaar voor James Garfield en hij was erin geslaagd om een bewijs te vinden terwijl hij lid was van het Huis van Afgevaardigden in de VS.