Hoofdmenu
Leerjaar 8
Course: Leerjaar 8 > Eenheid 5
Les 2: Hoeken van een driehoek- Bewijs dat hoeken in de driehoek optellen tot 180°
- Hoeken in driehoeken bepalen
- Hoeken van een gelijkbenige driehoek bepalen
- Voorbeeld van de buitenhoek van een driehoek
- Uitgewerkt voorbeeld: hoeken van een driehoek (snijdende lijnen)
- Uitgewerkt voorbeeld: hoeken van een driehoek (diagram)
- Hoeken meten met behulp van driehoeken
- Ingewikkelde opgave over hoeken van driehoeken
- Ingewikkelde opgave over hoeken van driehoeken 2
© 2023 Khan AcademyGebruiksvoorwaardenPrivacybeleidCookie Notice
Bewijs dat hoeken in de driehoek optellen tot 180°
Leer een formeel bewijs dat de binnenhoeken van een driehoek optellen tot 180°. Gemaakt door Sal Khan.
Wil je meedoen aan het gesprek?
Nog geen berichten.
Videotranscript
... Ik heb hier een standaard driehoek. Ik heb het gelabeld met
de maten van de binnenhoeken De maat van deze hoek is X Deze ene is y. Deze ene is z. En wat ik wil bewijzen is de som van de maten van de binnenboeken
van de driehoek, wat x plus y plus z is gelijk aan 180 graden En de manier waarop ik
dat ga doen is door onze kennis te gebruiken
van evenwijdige lijnen of transversaal
van evenwijdige lijnen en de bijbehorende hoeken En omdat te doen,
ga ik dit uitbreiden elk van deze zijde van de driehoek
welke nu lijn segmenten bevatten, maar
uitbreiden tot lijnen Dus met deze zijde hier,
als ik door blijf gaan en door blijf gaan en voor altijd
naar dezelfde richting plotseling heb ik een oranje lijn En wat ik wil doen is
een andere lijn construeren Deze is evenwijdig aan
de oranje lijn dat door deze bovenkant van
de driehoek hier heen gaat En ik kan dat altijd doen. Ik kan juist starten
vanuit deze punt en in dezelfde richting gaan als
deze lijn en ik zal er nooit kruisen Ik ga niet dichter of
verder van deze lijn weg Dus ik zal nooit deze lijn
kruisen Dus deze twee lijnen hier
lopen parallel Deze is parallel aan deze Nu ga ik naar de andere twee zijde van mijn originele driehoek
en deze lijnen uitbreiden Dus ik ga dit uitbreiden
tot één lijn Dus, ik doe dat zo netjes als dat ik kan Dus ik ga ze uitbreiden
tot een lijn En je ziet dat dit duidelijk
transversaal is met deze twee evenwijdige lijnen Als we nu een transversaal
hier pakken van twee parallelle lijnen, dan moeten we een paar
bijbehorende hoeken hebben En we zien dat deze hoek gevormd is als de transversale kruist met
de onderste oranje lijn Ok wat is de bijbehorende hoek als de transversaal kruist met
deze blauwe lijn Wat is de hoek aan de bovenkant
van deze kruising? De hoek van de bovenkant moet ook x zijn Het andere dat opduikt is dat er nog een
verticale hoek is bij x een andere hoek
dat gelijkwaardig moet zijn Aan de andere zijde van dit kruispunt je hebt deze hoek hier. Deze twee hoeken zijn verticaal Dus als dat maat x is,
dan heeft deze ook maat x Laten we hetzelfde doen met
de laatste zijde van deze driehoek dat we nog niet hebben
uitgebreid tot een lijn Laten we dat doen Dus als we deze pakken Laten we dit blijven doen Nu is het een lijn geworden Dus nu wordt het een transversaal
van de twee parallelle lijnen net als de magenta lijn deed En we zeggen, hey kijk deze hoek y hier deze hoek is gevormd
van de intersectie van de transversaal naar de onderkant van de
evenwijdige lijn Welke hoek is bijbehorend aan deze hier? Ok dit is een beetje als de linkerzijde
van deze kruising Het behoort bij deze hoek hier waar de groene lijn is,
de groene transversale kruist met de blauwe evenwijdige lijn Ok welke hoek is verticaal gelegen? Ok, deze hoek. Dus deze zal ook
maat y bevatten Dus nu zijn we aan het laatste stuk want we zullen zien dat de maat,
we hebben deze hoek hier en deze hoek Dit heeft maat hoek x Deze heeft maat hoek z Ze zijn beide aangrenzend Als we de twee buitenste stralen
pakken vormen die de hoek en we denken aan deze hoek hier wat is de maat van deze hoek hier? Ok, dit zal x plus z zijn ... En deze hoek is aanvullend
aan deze hoek hier dat maat y bevat Dus de maat van x
de maat van deze wijde hoek
welke x is plus z plus de maat van deze magenta hoek,
welke y is moet gelijk zijn aan 180 graden
omdat deze twee hoeken aanvullende hoeken zijn Dus x plus de maat van de wijde hoek
x plus z plus de maat van de magenta hoek welke aanvullend is aan de wijde hoek moet gelijk zijn aan 180 graden
omdat ze aanvullend zijn Ok, we kunnen dit juist herordenen om het op alfabetische volgorde
te plaatsen Maar we hebben net ons
experiment voltooid De maat van de binnenste hoeken van de driehoek,
x plus z plus y We kunnen dit opschrijven als
x plus y plus z als de gemiste alfabetische volgorde je ongemakkelijk doet voelen kunnen we juist schrijven
dat als x plus y plus z gelijk is aan 180 graden