Inhoud en oppervlakte van cilinders

Laten we het volume van een paar massieve figuren berekenen, als we tijd over hebben kunnen we nog wat oppervlakte opdrachten maken. Ik zal een cilinder tekenen. Dat is de bovenkant van mijn cilinder dan is dit de hoogte van mijn cilinder. Dit hier, is de bodem. Als dit transparant zou zijn, zou je misschien de achterkant kunnen zien. Je kunt je inbeelden dat het er een beetje uitziet als een blikje frisdrank. Stel de hoogte van mijn cilinder, h gelijk is aan 8. Ik zal het eenheden geven, 8 cm. Dat is mijn hoogte. En stel dat de radius aan de bovenkant van mijn blikje, stel dat deze radius 4 cm is. Wat is dan het volume? Wat zal het volume dan zijn? Het idee hierachter is precies het zelfde als we gezien hebben in eerdere opdrachten. Als je de oppervlakte van een zijde kan vinden en dan uitvindt hoe diep die gaat, kun je het volume berekenen. Dus wat wij gaan doen, is de oppervlakte van de bovenkant van deze cilinder berekenen. De bovenkant van dit blikje frisdrank. Dat vermenigvuldigen we met de hoogte, wat ons het volume geeft. In eerste instantie kijken we hoeveel vierkante centimeter er in de bovenkant past. als we dat vermenigvuldigen, met het aantal centimeters dat het naar beneden gaat, krijgen we het aantal kubieke centimeters dat in de cilinder past. Dus, hoe berekenen we de oppervlakte van deze bovenkant? Nou de oppervlakte van de bovenkant is het zelfde als die van een cirkel. Je kan je inbeelden dat het zo getekend wordt, als we er van boven op kijken. Is dit een cirkel met een radius van 4 cm. De oppervlakte van een cirkel met een radius van 4 cm, is gelijk aan pi keer de radius in het kwadraat Dat wordt dus pi keer de radius kwadraat. keer 4 cm kwadraat. Wat gelijk is aan 4 kwadraat is 16, keer pi. Onze eenheid wordt nu cm kwadraat. Dat is dus de oppervlakte. De volume wordt deze oppervlakte, keer de hoogte. De volume wordt dus gelijk aan 16 pi cm kwadraat keer de hoogte, keer 8 cm. keer 8 cm. En als je vermenigvuldigd kan je er voor kiezen om de associativiteit, je kan deze dingen herschikken. Het maakt namelijk niet uit in welke volgorde je het doet, omdat het allemaal vermenigvuldigingen zijn. Dit is dus hetzelfde als 16 keer 8. Laten we eens kijken. 8 keer 8 is 64, 16 keer 8 is twee keer zo groot dat wordt dus 128 pi, cm kwadraat keer cm dat maakt dus kubieke centimeters. Of 128 pi kubieke cm. Onthoud, pi is gewoon een getal. We schrijven het als pi omdat het een gek getal is. Als je het op zou schrijven, kan je het nooit helemaal opschrijven. 3.14159 en blijft maar doorgaan zonder zichzelf te herhalen. Dus laten we het gewoon als pi staan. Maar als je het uit zou willen rekenen kan je, je rekenmachine pakken en zou dit ongeveer 3.14 keer 128 zijn. Het ligt dus in de buurt van 400 kubieke cm. Maar nu, hoe vinden we de totale oppervlakte van dit figuur? Een deel van de totale oppervlakte zijn de boven- en onderkant. Dat maakt dus deel uit van de totale oppervlakte. En dit onderste gedeelte dus ook. Als we dus de totale oppervlakte willen vinden, laten we dat doen, Laten we de totale oppervlakte berekenen. Het zal zeker deze twee oppervlaktes hebben. Het heeft dus zeker twee keer 16 pi cm kwadraat. Dit is 16 pi, dit is 16 pi kwadraat cm. Het heeft dus twee keer 16 pi cm kwadraat. Ik houd dezelfde eenheden. Dat is dus de boven- en onderkant van het blikje frisdrank. Nu moeten we de oppervlakte van het gedeelte dat rondom gaat berekenen. Ik beeld het me zo in. Stel je zou dit in willen pakken met papier en stel je zou het hier doorknippen, deze zijde van het blikje doorknippen. En het uitrollen. Je zou het uitrollen. Wat zou je dan hebben? Je zou iets hebben als Je zou een stuk papier hebben waarvan deze lengte deze lengte gelijk is aan deze lengte. En dan is het helemaal uitgerold. Deze twee uiteinden, in het paars, Deze twee uiteinden, raakten elkaar Ik zal een kleur pakken die nog niet gebruikt is. Ik doe het in roze. Deze twee uiteinden raakten elkaar, toen alles nog opgerold was. En dat deden ze hier. De lengte van deze twee zijdes, is dus gelijk aan de hoogte van mijn cilinder. Dit wordt dus 8 cm. En dan wordt dit ook 8 cm. De vraag die we ons nu moeten stellen is wat wordt deze afmeting? En denk er aan, die afmeting is eigenlijk hoe ver we rondom de cilinder gingen. En als je daar over nadenkt, Is dat precies hetzelfde als de omtrek van de boven- of onderkant van de cilinder. Dus, wat is die omtrek? De omtrek van deze cirkel welke het zelfde is als de omtrek van die cirkel, is 2 keer de radius keer pi. Of 2 pi keer de radius. 2 pi keer 4 cm, is gelijk aan 8 pi cm. Dus deze afstand, is de omtrek van zowel de boven- als de onderkant van de cilinder. Dit wordt 8 pi cm. Als je dus de oppervlakte van het inpakpapier wilt weten. Alleen van het deel rondom de cilinder, dus niet de boven- en onderkant. Krijg je, als je het uitrolt, deze rechthoek. En dus wordt de oppervlakte van dit deel 8 cm bij 8 pi cm. Het wordt dus 8 cm keer 8 pi cm. Dat is het zelfde als 64 pi, 8 keer 8 is 64. 64 pi cm kwadraat. Als je de oppervlakte van het geheel wilt, heb je de boven- en de onderkant, die hebben we al berekend. Dan wil je de oppervlakte rondom berekenen, Die hebben we net gevonden. Dit wordt dus plus 64 pi cm kwadraat. Nu hoeven we het alleen nog maar uit te rekenen. Het wordt 2 keer 16 pi, wat hetzelfde is als 32 pi cm kwadraat, dus 32 pi cm kwadraat. Plus 64 pi, plus 64 pi cm kwadraat. 32 plus 64 is 96 pi cm kwadraat. Het is dus 96 pi cm kwadraat. Dat is net iets meer dan 300 cm kwadraat. En let op, bij het uitrekenen van de oppervlakte krijgen we een antwoord in termen van cm kwadraat. En dat is logisch want een oppervlakte is een 2-dimensionale meting. We zoeken uit hoeveel vierkante centimeters we in de oppervlakte kunnen passen. Toen we volume deden, kregen we kubieke centimeters. Dat is omdat we uitzoeken hoeveel 1x1x1 cm blokjes, er in het figuur passen. Dat is dus waarom het kubieke cm zijn. Maar goed, hopelijk heeft dit het duidelijker gemaakt.