Vergelijken van irrationale getallen met wortels

Ik heb hier zes getallen en je ziet dat vijf ervan irrationaal zijn. Ze zijn de wortel van een imperfect vierkant. Ons doel van deze video is om zonder rekenmachine te zien of we deze getallen van klein naar groot kunnen sorteren. En als altijd, pauzeer de video en kijk of je het zelf kan. Ik geef je een hint. De hint is-- het is erg moeilijk zonder rekenmachine. Wortel twee is iets van 1 komma nog iets. Wortel drie is iets van 1 komma nog iets. Hoe gaan we dit doen? Je moet je realiseren dat als je een getal hebt, zeg je hebt een getal 𝑎 dat groter is dan 0. En als je weet dat 𝑎 kleiner is dan 𝑏, dan is 𝑎 kwadraat kleiner dan 𝑏 kwadraat. Als een positief getal kleiner is dan een ander positief getal, dan is het kwadraat van dit positief getal ook kleiner dan het kwadraat van dat getal. Dus een ding dat we kunnen doen wanneer we al deze irrationale getallen vergelijken met wortels van imperfecte vierkanten, is hun kwadraten vergelijken. Omdat hun kwadraten geen irrationale getallen zijn, zijn ze veel makkelijker om te vergelijken, en kunnen we ze sorteren. Wanneer we kwadraten sorteren vertellen ze ons wat er gebeurt als we hun wortels sorteren. Waar heb ik het over? Nou, ik ga deze allemaal kwadrateren. Dus als ik dit tot de tweede macht verhef, dit wordt vier wortel twee, keer vier wortel twee. Je kan de volgorde van vermenigvuldiging veranderen. Dat is vier keer vier keer wortel twee keer wortel twee. Vier keer vier is 16. Wortel twee keer wortel twee, dat is twee. Dus dit is 16 keer twee en dat is gelijk aan 32. En hoe zit het met twee keer wortel drie? Hetzelfde idee. Laten we het kwadrateren. Ik doe dit iets sneller. Als we het kwadraat nemen van twee keer wortel drie, dan is dat twee keer het kwadraat van wortel drie. Dus dit is twee kwadraat keer het kwadraat van wortel drie. Twee kwadraat is vier. De kwadraat van wortel drie is drie. Dus dit wordt gelijk aan 12. Dat is dit ding in het kwadraat. Als deze stap een beetje verwarrend is, als je het product hebt van twee dingen tot een macht, is dat hetzelfde als het verheffen van elk van hen tot die macht, en dan neem je het product. En je kan het hier zien, ik heb het hier uitgewerkt, waarom het klopt. Merk op dat wanneer ik de volgorde van de vermenigvuldiging verander je had vier keer vier, of vier kwadraat, keer het kwadraat van wortel twee, wat twee is. Laten we daarmee doorgaan. Dus wat is dit in het kwadraat? Het wordt drie kwadraat, dat is negen, keer het kwadraat van wortel twee, dat is twee. Negen keer twee is 18. Wat is de kwadraat van wortel 17? Dat is 17. Dat is gewoon 17. Wat is het kwadraat van drie keer wortel drie? Dat is drie kwadraat, wat negen is, keer het kwadraat van wortel drie. Wortel drie keer wortel drie is drie. Dus dit is negen keer drie, oftewel 27. En wat is vijf kwadraat? Dat is nogal rechttoe rechtaan. Dit wordt 25. Laten we ze sorteren van klein naar groot. Welke van hen, wanneer ik ze kwadrateer, geeft me de kleinste waarde? Vergelijk 32 met 12 met 18 met 17 met 27 met 25. 12 is het kleinst. Dus als het kwadraat het kleinst is, en dit zijn allen positieve getallen, dan is dit de kleinste waarde van alle anderen. Ik schrijf dat als eerste. Twee keer wortel drie. Die hebben we alvast. Welke is de volgende? Nou, nu heb ik deze waarde. 17 is het volgende kleinste kwadraat, dus zijn wortel is de volgende kleinste wortel. Dus dit wordt twee keer wortel drie, en dan wortel 17. Dat is deze. Dan doen we 18. Dus als we kijken naar zijn wortel, met de getallen die we oorspronkelijk probeerde te sorteren, dat is drie keer wortel twee, drie keer wortel twee, die hebben we ook. Dan is de volgende 25, wanneer we kijken naar de kwadraten. Dus de volgende waarde uit onze originele verzameling, de volgende is rij is vijf. Dus dan krijgen we vijf, die hebben we ook. Dan is de volgende, eens kijken. We hebben 27 en 32 over. 27 is het volgende kwadraat, dus het volgende getal uit de rij, is drie keer wortel drie. Dus drie keer wortel drie. Die hebben we ook. En dan besluiten we met-- Dit is de grootste waarde, vier keer wortel twee. Vier keer wortel twee. En dan zijn we klaar! Dat was best tof. Zonder een rekenmachine kunnen we deze irrationale getallen sorteren, nou ja, niet allen zijn irrationaal, maar degene die een wortel zijn van iets dat geen perfect vierkant zijn.