Uitgewerkt voorbeeld: classificeren van getallen

Tot welke getalsoorten wordt het getal 3,4028 met reeks herhalende cijfers gerekend? Voordat je deze vraag beantwoordt, vraag jezelf af wat dit vertegenwoordigt? En vooral, wat betekent deze lijn hierboven? De lijn boven deze getallen betekent dat 28 zich oneindig herhaalt. Dus ik zou dit getal kunnen uitdrukken als 3,4028 maar de 28 zou zichzelf oneindig blijven herhalen. Het herhaalt zich tot in het oneindige. Ik zou de 28en oneindig kunnen blijven schrijven. Het is dus makkelijker om in plaats daarvan een lijn hierboven de 28 te plaatsen om aan te geven dat het zich oneindig herhaalt. Laten we nu bekijken tot welke getalsoorten we dit getal kunnen rekenen. De meest algemene getalsoort die we tot nu toe hebben besproken is de reële getallen. En dit getal kunnen we zeker rekenen tot de reële getallen De reële getallen zijn in feite de gehele getallenlijn dat we gewend zijn te gebruiken. En 3,4028 met herhalend reeks kun je hier ergens op de lijn plaatsen. Als dit negatief 1 is, dan is dit 0, 1, 2, 3, 4. 3,4028 is iets groter dan 3,4 en iets kleiner dan 3,41. Je zou het daarom hier ergens kunnen plaatsen. Het komt dus zeker op de getallenlijn voor. Het is een reëel getal. Het is dus zeker reëel Het is zeker een reëel getal. Maar de niet zo voor de hand liggend vraag is of het een rationaal getal is. Weet je het nog, een rationaal getal is een getal dat uitgedrukt kan worden als een rationaal uitdrukking of een breuk. Als ik zeg dat p rationaal is dan betekent dat p uitgedrukt kan worden als een verhouding tussen twee integere getallen. Dat betekent dat p uitgedrukt kan worden als de breuk van twee integere getallen, m/n. Dus de vraag is: Kan ik dit uitdrukken als een verhouding tussen twee integere getallen? Oftewel, kan ik dit weergeven als een breuk? Laten we daarom het getal daadwerkelijk als een breuk uitdrukken. Laten we x gelijkstellen aan dit getal. Dus x is gelijk aan 3,4028 met herhalende cijferreeks. Laten we nu stil staan bij wat 10.000x is. Ik wil 10.000x gebruiken omdat ik de komma helemaal naar rechts wil opschuiven, hierzo. Dus 10.000x. Waar staat dat gelijk aan? Elke keer dat je een getal vermenigvuldigt met 10, schuift de decimaal een plek naar rechts op. 10.000 is 10 tot de macht 4. Dus dat is hetzelfde als de decimaal vier plaatsen naar rechts op te schuiven. 1,2,3,4 Dus dit wordt 34.028. Maar de 28 hier blijft zich oneindig herhalen. Dus je hebt nog steeds de 28 dat zich alsmaar herhaalt tot in het oneindige toe. De getallen zijn alleen maar vijf plaatsen links van de komma opgeschoven. Je kan het ook zo bekijken. Dat is logisch. Het is bijna 3 en een 1/2. Als je het vermenigvuldigt met 10.000 krijg je bijna 35.000. Dus dat is 10.000x. Laten we nu ook nadenken over 100x. Ik maak deze tussenstap omdat ik twee getallen wil waarbij, wanneer ik die van elkaar aftrek en gelijk staan tot x, de reeks herhalende cijfers verdwijnt. En dan kunnen we de getallen als normale getallen behandelen. Dus laten we uitwerken wat 100x is. 100x. Dan moeten we deze komma bewegen. Weet je het nog, de komma was oorspronkelijk hier. Het schuift twee plaatsen naar rechts op. Dus 100x wordt dan 300.. Laat ik het zo opschrijven. Het wordt dan 340,28 met herhalende reeks. We hadden de lijn boven de 28 hier kunnen plaatsen, maar dat zegt niet zo veel. Je kunt het beste de lijn altijd boven een getal achter de komma plaatsen. Dus we schrijven nogmaals de 28 op om aan te geven dat 28 herhalend reeks is. Nu gebeurt er iets interessants. Deze twee getallen zijn in feite vermenigvuldigingen van x. En als we het bovenste getal van het onderste aftrekken, wat gebeurt er dan? De reeks herhalende cijfers verdwijnt. Dus laten we dat doen. Laten we aftrekken aan beide zijden van de vergelijking. Ok, laten we dat doen. Aan de linkerzijde van de vergelijking wordt dat 10.000x - 100x = 9.900x. En aan de rechterzijde, even zien, de decimale getallen strepen we tegen elkaar weg. En dan moeten we uitvogelen wat 34.028 mi 340 is. Laten we dat uitrekenen. 8 is groter dan 0, dus we hoeven nog niet te hergroeperen. 2 is kleiner dan 4. Dus hier moeten we gaan hergroeperen. Maar we kunnen niet lenen van de 0 hier. 0 is kleiner dan 3, dus we moeten hergroeperen door wat te lenen van hier. Dus laten we eerst wat van de 4 lenen. Dus als we één lenen van 4 wordt het een 3 en dan wordt dit een 10. En dan kan de 2 lenen van de 10. Dit wordt dan een 9 en dit wordt een 12. En nu kunnen we gaan aftrekken. 8 min 0 is 8. 12 min 4 is 8. 9 min 3 is 6. 3 min niets is 3. 3 min niets is 3 Dus 9.900x is gelijk aan 33.688 We hebben net 340 afgetrokken van dit hierboven. Dus we krijgen 33.688. Als we nu x willen oplossen, hoeven we simpelweg beide zijden te delen door 9.900. Deel de linkerzijde door 9.900. Deel de rechterzijde door 9.900. Wat houden we dan over? We houden dan over x is gelijk aan 33.688 gedeeld door 9.900. Wat is er hier nu bijzonder aan? Toen we begonnen stond x gelijk aan dit getal. Een getal dat een herhalende reeks cijfers achter de komma had. Door wat algebraïsche manipulatie en door het een en ander af te trekken, kunnen we datzelfde x uitdrukken als een breuk. Dit is niet de meest vereenvoudigde vorm. Ze zijn beiden nog deelbaar door 2 en zo te zien door 4. Dus je kunt dit nog verder vereenvoudigen maar dat is nu onbelangrijk. Het doel van deze oefening was om te laten zien dat we x, dit getal hier, kunnen omzetten in een breuk. Als een verhouding tussen twee integere getallen. Dus dit getal is ook rationaal. Het is ook een rationaal getal. En de techniek die ik heb laten zien, is niet alleen toepasselijk voor dit getal. Je kunt het inzetten bij elk getal dat herhalende reeks cijfers achter de komma heeft. In het algemeen, herhalende reeks getallen achter de komma zijn rationaal De getallen die irrationaal zijn, zullen nooit en te nimmer herhalend reeks getallen hebben, bijvoorbeeld pi. En een ander voorwaarde, wat nogal voor de hand ligt, is dat dit niet integer is. De integere getallen zijn de gehele getallen. Dus dit bevindt zich ergens tussen de integere getallen. Het is geen natuurlijke getal of een gehele getal, afhankelijk van de context worden deze gezien als een subcategorie van de integere getallen. Dus het is zeker geen van deze. Dus het is reëel en rationaal. Dat is alles wat we hierover kunnen zeggen.