Gevoel voor negatieve exponenten

Iemand vroeg mij om wat intuitie waarom a tot de macht min b gelijk is aan 1 gedeeld door a tot de macht b. En voor dat ik je de intuïtie geef, moet je je realiseren dat het eigenlijk een definitie is. Ik weet het niet. De uitvinder van de wiskunde was niet één persoon. Het was meer een soort conventie die opkwam. Maar ze definiëerden dit, en deden dat om de volgende redenen. Wat ik je ga laten zien is één van de redenen, en we zullen merken dat het een goede definitie is, omdat zodra je de exponent regels leert, alle andere exponent regels voor negatieve exponenten hieruit volgen. en ook die voor het verheffen tot de macht nul. Dus laten we eens beginnen met de positieve exponenten. Die zijn tamelijk intuïtief, denk ik. De positieve exponenten: a tot de macht 1, a kwadraat, a tot de macht 3, a tot de macht 4. Wat is a tot de macht 1? a tot de macht 1, hadden we afgesproken, is a En wat hebben we gedaan om een kwadraat te maken? We hebben vermenigvuldigd met a, toch? a kwadraat is gewoon a keer a. En wat hebben we gedaan om a tot de derde macht te berekenen? We hebben opnieuw vermenigvuldigd met a. En wat hebben we toen gedaan om a tot de vierde macht te berekenen? We hebben opnieuw vermenigvuldigd met a. Als we nu de andere kant opgaan, en de exponent steeds kleiner maken, wat moeten we dan doen? Dan gaan we delen! (ofwel vermnigvuldigen met 1 gedeeld door a) En voor de volgende stap, delen we opnieuw door a. En om van a kwadraat naar a te gaan, moeten we dus door a delen. Laten we nu proberen om erachter te komen wat a tot de macht nul is. Dit is de eerste moeilijke: a tot de macht nul. Stel je bent de uitvinder, de stichtende moeder van de wiskunde, en je moet definiëren wat een tot de macht nul is. Misschien is het zeventien, of misschien is het wel pi. Ik weet het niet. Jij mag beslissen wat een tot de macht nul is. Maar zou het niet aardig zijn om het patroon te behouden? Dat elke keer als je de exponent verlaagt, je gewoon door a deelt? Dus als we van a tot de macht 1 gaan naar a tot de macht 0, zou het niet mooi zijn als we gewoon delen door a? Laten we dat eens doen. Dus we gaan van a tot de macht 1, die is gewoon a, en dan delen door a, We gaan het gewoon proberen, we gaan delen door a. Wat is a gedeeld door a? Nou, dat is gewoon 1. Aha, dat is waar de definitie-- dus dat is een intuïtie achter waarom iets tot de nulde macht gelijk aan één is. Omdat wanneer je een getal neemt, en het deelt door hetzelfde getal, je gewoon 1 krijgt. Klinkt vrij redelijk. maar nu laten we gaan kijken in het negatieve domein. Dus wat zou a tot de macht min 1 moeten zijn? Nogmaals, het is mooi als we dit patroon behouden kunnen, waarbij we elke keer als we de exponent verlagen, we gewoon delen door a. Laten we opnieuw delen door a, (of vermenigvuldigen met 1 gedeeld door a) Dus we nemen a tot de macht 0 en delen het door a. a tot de macht nul is 1, wat krijgen we dan als we 1 delen door a? Het is: 1 gedeeld door a Nu, laten we het nog een keer doen, en dan denk ik dat je het patroon in de gaten krijgt. Nou, waarschijnlijk heb je het al in de gaten. Wat is a tot de macht de min 2? het zou dom zijn om nu van patroon te veranderen. Elke keer als we de exponent verlagen, delen we door a. Dus om van a tot de macht -1 naar a tot de macht -2 te gaan, Gaan we gewoon weer delen door a. En wat krijgen we nu? Als je 1 gedeeld door a neemt, en dat deelt door a, dan krijg je 1 gedeeld door a kwadraat. En je zou dit patroon kunnen herhalen, helemaal naar links, tot aan a tot de macht min b, wat gelijk is aan 1 gedeeld door a tot de macht b. Hopelijk, gaf je dat een beetje intuïtie over de vraag waarom-- Nou, ten eerste, je weet, het grote mysterie is, iets tot de nulde macht, waarom is dat gelijk aan 1? Ten eerste, houd in gedachten dat gewoon een definitie is. Iemand besloot dat het gelijk moet zijn aan 1, maar met een goede reden. En de goede reden was om dit patroon aan te houden. En dat is dezelfde reden waarom op deze manier negatieve exponenten gedefinieerd zijn. En wat hier extra cool aan is: Niet alleen wordt het patroon behouden: Als je exponenten verlaagt, deel dan door a, En als je exponenten verhoogt, vermenigvuldig dan met a, Maar zoals je in de exponentregels video's zult zien, blijven alle exponentregels gelden. Alle exponentregels zijn in overeenstemming met deze definitie van iets tot de nulde macht en deze definitie van iets tot de de negatieve macht. Hopelijk bracht dit je niet in verwarring en gaf het je een klein beetje intuïtie en verhelderde het iets wat, eerlijk gezegd, de eerste keer dat je leert, heel duister lijkt.