Repeterende decimale getallenconverteren naar breuken (deel 2 van 2)

In de vorige video, deden we wat voorbeelden waar we één cijfer hadden die oneindig herhaalde en we waren in staat dit om te zetten naar een breuk. In deze video zullen we een iets interessanter probleem behandelen, en dat is meerdere oneindig repeterende cijfers. probleem behandelen, en dat is meerdere oneindig repeterende cijfers. Zeg dat ik 0,36 heb dat zich blijf herhalen dat is het zelfde als 0 komma-- Omdat de streep boven de 3 en de 6 staat, blijven beide herhalen-- 363636. En dat blijft voor altijd doorgaan. De sleutel voor dit type probleem lijkt op wat we deden in de vorige video, we maken dit gelijk aan x. In plaats van dit te vermenigvuldigen met 10-- 10 zal alleen één plaats verschuiven-- willen we genoeg opschuiven zodat we op één lijn komen. De decimale delen zullen met elkaar moeten uitlijnen. Om dat te doen willen we de decimale plek twee naar rechts schuiven. Om het twee naar rechts op te schuiven, moeten we het vermenigvuldigen met 100, of 10². Dus 100x is gelijk aan wat? We schuiven deze twee naar rechts-- één, twee. 100x zal gelijk zijn aan-- de decimaal gaat hier naartoe, dus het wordt 36,363636 altijd maar door. En dan schrijf ik x hier. We gaan dat aftrekken van de 100x. x is gelijk aan 0,363636 altijd maar door. We hebben vermenigvuldigd met 100x, dus de 3-en en de 6-en komen onder elkaar te liggen. Je wil zeker weten dat de decimalen correct uitlijnen. De reden waarom dit waardevol is, is dat als we x aftrekken van 100x, de herhalende delen elkaar opheffen. Laten we aftrekken. Laten we deze twee dingen aftrekken. Aan de linkerkant hebben we 100x - x. Dus dat wordt 99x. En dan krijgen we aan de rechterkant, dit deel heft dat deel op. En we houden 36 over. We kunnen beide zijden delen door 99, en we houden over: x = 36 / 99. En de teller en de noemer zijn beide deelbaar door 9, dus dit kunnen we reduceren. Als we de teller delen door 9 krijgen we 4. De noemer door 9 en we krijgen 11. Dus 0,363636 voor altijd repeterend is 4/11. Laten we nog een interessante doen. Zeg we hebben het getal 0.714, en de 14 is repeterend. Dan doen we hetzelfde. Let op, de 714 is niet repeterend. Alleen de 14 is repeterend. Dus dit is 0,7141414 en door en door en door. Laten we dit gelijk aan x maken. Nu kan je in de verleiding komen om dit met 1.000x te vermenigvuldigen om van de decimaal tot en met 714 af te komen. Maar dat wil je eigenlijk niet. Je wil net genoeg verschuiven zodat het repeterende patroon recht onder zichzelf uitkomt als je gaat aftrekken. Dus in deze situatie, ook al hebben we drie cijfers achter de decimale komma, omdat we maar twee herhalende hebben, willen we vermenigvuldigen met 10². Je wilt vermenigvuldigen met 100. Dus je krijg 100x is gelijk aan-- we verplaatsen de decimalen twee naar rechts, één, twee-- dus het wordt 71,4141 en door en door. Dus dit wordt 71,4141414 en door en door. Ik schrijf de x hier beneden. We hebben x dat gelijk is aan 0,7141414. En kijk, nu de 141414-en, ze lijnen uit onder elkaar. Dus dit gaat werken wanneer we aftrekken. Dus laten we deze dingen aftrekken. 100x - x = 99x. En dat is gelijk aan-- deze 1414-en gaan opgeheven worden met deze 1414-en. En we hebben 71,4 - 0,7. We kunnen dit uit ons hoofd doen, of we kunnen het doen met lenen. Dit kan een 14 zijn. Dit is een 0. Dus je hebt 14 - 7 = 7 en dan 70 - 0. Dus je hebt 99x = 70,7 En dan kunnen we beide kanten delen door 99. Opeens zie je iets vreemds gebeuren omdat we nog een decimaal hebben. Maar dat kunnen we op het eind goed maken. Dus laten we beide kanten delen door 99. Dus laten we beide kanten delen door 99. Je krijgt x = 70,7 / 99. We hebben dit nog niet geconverteerd in een zuivere breuk. We hebben nog steeds een decimaal in de teller. Maar dat is eenvoudig om goed te krijgen. Je hoeft alleen de teller en de noemer te vermenigvuldigen met 10 om van deze decimaal af te komen. Dus laten we de teller en noemer met 10 vermenigvuldigen Dus laten we de teller en noemer met 10 vermenigvuldigen En dat krijgen we 707/990 Laten we nog één voorbeeld doen. Zeg, we hebben iets als 3,257 repeterend, en we willen dit omzetten naar een breuk. Nogmaals, we maken dit gelijk aan x. Dit gaat worden: 3,257257257 De 257 is repeterend. Omdat we drie cijfers hebben die repeteren, moeten we denken aan 1.000x, 10³x. En dat laat het ons zo verschuiven dat de repeterende delen elkaar kunnen opheffen. Dus 1.000x is gelijk aan wat? We gaan de decimaal drie plaatsen naar rechts schuiven-- één, twee, drie. Dus dit wordt 3.257 komma-- en dan blijft de 257 herhalen. 257257257 gaat door en door en door voor eeuwig. Dan trekken we x daarvan af. Dus hier is x. x is gelijk aan 3... Je wil zeker weten dat je decimalen goed uitgelijnd staan. x is 3.257257257... -- en gaat door voor eeuwig. En let op, wanneer we het vermenigvuldigen met 1.000, kunnen we de 257-s zo uitlijnen dat wanneer we aftrekken, de repeterende delen elkaar opheffen. Laten we aftrekken. Aan de linkerkant, 1.000 van iets min 1 van iets-- dan hou je 999 van dat iets over. Dit deel gaat dat deel opheffen. Het gaat gelijk worden aan-- laten we kijken 7 - 3 = 4. En dan heb je de 5, de 2 en de 3. Dus je krijgt 999x = 3.254 En dan kan je beide kanten delen door 999. En dan hou je x over dat gelijk is aan 3.254 / 999 Dit is overduidelijk een onechte breuk. De teller is groter dan de noemer. Je kan dit omzetten naar een echte breuk als je wil. Je kon bijvoorbeeld proberen om uit te vinden wat de repeterende 0,257 gelijk aan is en de 3 was alleen maar het hele deel van de gemengde breuk. Of je kon 999 delen in 3.254. Eigenlijk kunnen we dat redelijk eenvoudig doen. Het gaat hier drie keer in en de rest-- ik ga het voordoen; 999 gaat in 3.254. Het doet dat drie keer. En we weten dat omdat het originele getal 3,257 was. Dus we gaan nu de rest vinden. 3 x 9 = 27 Maar we moeten 2 toevoegen, dus het is 29. 3 x 9 = 27 We hebben een 2 dus het is 29. En dan houden we over, als we aftrekken, als we hergroeperen of lenen of hoe we het ook willen noemen, dit kan een 14 zijn. En dan kan dit een 4 zijn. En de 4 is nog steeds kleiner dan deze 9, dus we hergroeperen opnieuw. Dus dan kan dit een 14 zijn en dan kan dit een 1 zijn. Maar dit is kleiner dan deze 9 hier, dus we hergroeperen opnieuw. Dit wordt een 11 en dan is dit een 2. 14 - 7 = 7. 14 - 9 = 5. 11 - 9 = 2. Dus dan houden we over-- deden we het goed? Yep-- dus dit wordt gelijk aan 3 en 257/999. En we zijn klaar.