Begrippen & labels in meetkunde

In deze video wil ik een introductie geven over de taal of over de tekens die we gebruiken als we het over geometrie hebben en ik denk dat het beste beginsel is om te denken wat geometrie betekent. Misschien herken je eerste stukje van geometrie, hierzo Je hebt de wortel geo- Ook te vinden in geografie of geologie. En dit verwijst naar de aarde. Dit verwijst ... ... mijn E lijkt een C hier ... Dit verwijst naar de aarde. En dan zie je het -metrie gedeelte -metrie zie je ook in bijvoorbeeld goniometrie En -metrie of het metrisch stelsel komt van meten Het komt dus van meten of maten Meten Als iemand het over geometrie heeft, het woord zelf komt van aard meting, en dat is best een prima naam omdat het zo'n algemeen vak is Geometrie is eigenlijk de studie en het begrijpen van hoe vormen en ruimte en dingen die we zien in verband brengen met elkaar. Als je Geometrie begint te leren, leer je over lijnen en driehoeken en cirkels en je leert over hoeken. En we zullen deze dingen steeds meer precies gaan definiëren als we verder gaan. Maar ook ingekapselde dingen zoals patronen en drie-dimensionale vormen Dus het is bijna alles wat we zien Alle wiskundig- - visuele wiskundige - dingen die we begrijpen kunnen enigszins als geometrie worden gecategoriseerd. Met dat achter de rug, laten we met de basis beginnen. Dus het starpunt van Geometrie En dan groeien we daar vanuit. Als we beginnen met een punt Dat punt daar zo. Het is alleen maar een punt Gewoon dat kleine punt op het scherm En we noemen het letterlijk een punt En dat noem ik een definitie En het leuke van wiskunde is dat je definities kunt maken We had het kunnen noemen... We had het een gordeldier kunnen noemen (armadillo) Maar we besluiten om het een punt te noemen, ook wel logisch want dat zouden we het in alledaagse taal ook noemen Dat is een punt Wat interessant is over een punt is dat het alleen maar een positie is; je kunt niet op een punt bewegen Als je zou bewegen als je op dit punt was En in welke richting ook zou gaan zou je niet meer op dat punt zijn Dus je kunt niet op een punt bewegen Nu zijn er verschillen tussen punten Bijvoorbeeld daar is een punt Misschien heb ik hier een ander punt En dan heb ik nog een punt hier En dan nog een punt daar En je wilt naar al die verschillende kunnen verwijzen En niet iedereen heeft de luxe van een mooie kleuren pen zoals ik heb Anders zouden ze kunnen verwijzen naar de groene punt Of de blauwe punt, of de roze En dus nijgen we in Geometrie om naar punten te verwijzen om ze te labels te geven En de labels zijn meestal letters Bijvoorbeeld, die zou punt A kunnen zijn dit B; dit punt C; en deze hier zo punt D Dus als iemand zegt cirkel punt C weet je welke je moet cirkelen Dan weet je dat je dat punt daar moet omcirkelen Tot nu toe best interessant Je hebt deze dingen die punten heten Een punt kan je niet op bewegen Ze bepalen alleen maar een positie Wat als we wat meer willen bewegen? Wat als we van een punt naar een andere willen? Wat als we zouden nemen om te beginnen een punt en dan ook alle punten inclusief dat punt en dan verbinden met een ander punt Dus al deze punten hier Wat zouden we zoiets noemen? Allen punten die A en B verbinden op een rechte ... Ik gebruik hier alledaagse taal ... op een rechte lijn zoals hier, Dit noemen we een lijnstuk In alledaagse taal zou je het misschien een lijn noemen Maar wij noemen het een lijnstuk want we zullen zien Dat in Wiskundige terminologie Een lijn iets net anders betekent Dus dit is een lijnstuk En als we D en C zouden verbinden Zou dat een ander lijnstuk zijn Een lijnstuk En eens te meer, omdat we niet altijd de luxe van kleuren hebben Deze is duidelijk het oranje lijnstuk; Deze is duidelijk het gele lijnstuk; We willen labels hebben voor deze lijnstukken En de beste manier om een lijnstuk te labellen is met de eindpunten ervan En dat is nog een woord Dus een punt is letterlijk A of B Maar A en B zijn ook de eindpunten van het lijnstuk Want het begint en eindigt bij A en B Laat me dit A en B schrijven A en B zijn eindpunten No een definitie hier We hadden, eens te meer, ze aardvarkens of manteldieren kunnen noemen Als wiskundigen besluiten we om het eindpunten te noemen Omdat het een goede naam lijkt En weer, we hebben een manier nodig om deze lijnstukken te labellen die eindpunten hebben En wat is beter dan een lijnstuk te labellen Met de echte eindpunten ervan Dus we verwijzen aan dit lijnstuk hier We zetten de eindpunten ervan daar En om te laten zien dat het een lijnstuk is Tekenen we er een lijn overheen op deze manier Dit lijnstuk hier, schrijven we zo En we hadden het net zo makkelijk kunnen schrijven als CD met een lijn erover Zou aan hetzelfde lijnstuk verwijzen Lijnstuk BA, BA met een lijn erover verwijst weer naar dat lijnstuk En nu zeg je misschien ik ben niet tevreden Om alleen tussen A en B te reizen En dat is een interessant idee Toen je op A was, was je alleen op een punt En je kon helemaal niet reizen; Je kon helemaal geen richting op zonder dat je dat punt zou verlaten Dat betekent dat je nul opties hebt om te reizien Je kan niet omhoog of omlaag, links of rechts, in of uit het blad En nog steeds op dat punt zijn En daarom zeggen we dat een punt nul dimensies heeft Nul dimensies Nu ineens, hebben we dit ding, dit lijnstuk hier En dit lijnstuk, kunnen we in ieder geval links en rechts langs dit lijnstuk We kunnen naar A toe of naar B We kunnen heen en weer in een dimensie Dus het lijnstuk is eendimensionaal Het is een eendimensionaal idee bijna of eendimensionaal object Alhoewel dit meer abstracte ideeën zijn Er bestaat niet zoiets als een perfect lijnstuk Want alles van een lijnstuk dat je niet kunt bewegen Je kunt niet omhoog of omlaag op dit lijnstuk terwijl je erop blijft Terwijl in het echt alles wat we denken een lijnstuk te zijn Zelfs bijvoorbeeld een soort stok Een hele rechte stok of strak stuk touw Zal steeds wat breedte hebben Maar een zuivere geometrische lijnstuk heeft geen breedte Het heeft alleen maar lengte dus je kunt alleen maar op de lijn bewegen En daarom zeggen we dat het eendimensionaal is. Een punt kan je helemaal niet bewegen; Een lijnstuk kan je alleen heen en weer in die ene richting Nu heb ik jullie net verteld dat het een lengte kan hebben Hoe verwijs je daaraan? Nou, daar verwijs je daar aan om geen lijn eroverheen te schrijven Dus als ik AB met een lijn erop schrijf Dan verwijs ik aan het lijnstuk zelf Als ik zeg dat Laat me een andere kleur gebruiken Als ik zeg dat AB gelijk is aan vijf eenheden Het kan centimeters of meters zijn of gewoon abstracte eenheden maal vijf Dat betekent dat de afstand tussen A en B vijf is Dat de lengte van lijnstuk AB daadwerkelijk vijf is Laten we nu het doortrekken Stel dat we in een richting willen blijven gaan Dus stel dat ik bij A begin Laat me een nieuwe kleur gebruiken Stel dat ik bij A begin en naar C toe wil Maar ik wil de optie hebben om door te blijven gaan Ik wil doorgaan Dus ik kan niet verder dan A in richting A Maar richting D kan ik wel verder Dus het ideetje dat ik liet zien Dit is eigenlijk net een lijnstuk Maar ik kan doorgaan na dit eindpunt En dit noemen wij een straal En het startpunt van de straal noemen we de vertex Niet een term die je al te vaak ziet Je zult vertex (knooppunt) later in een ander betekenis zien maar goed te weten Dit is de vertex van de straal Het is niet de vertex van dit lijnstuk Dus misschien kan ik het beter niet zo labellen En wat van een straal boeiend is Het is weer een eendimensionaal figuur Maar je kunt doorgaan in een van de richtingen Je kunt blijven doorgaan voorbij een van de eindpunten En de manier om aan een straal te verwijzen We noemen het AD en we zetten er een pijltje boven Tonend dat het een straal is En in dit geval maakt de volgorde Waar we de letters in zetten ... Als ik DA zet, DA als strall Dit betekent een andere straal Dat zou betekenen bij D beginnen en voorbij A gaan Dus dit is niet straal DA, dit is straal AD Nu het laatste idee waar je vast al aan denkt Wat als ik in beide richtingen door zou kunnen gaan? Stel dat ik door kan gaan Mijn diagram wordt slordig Dus laat me wat meer punten voorstellen Stel ik heb punt E en hierzo punt F En stel ik heb een object dat kan Dat door E en F gaat Maar in beide richting door blijft gaan Dit is, als we Geometrische termen gebruiken, wat we een lijn noemen Weet nu dat deze lijn nooit eindigt Je kunt in beide richtingen door blijven gaan Een lijnstuk eindigt wel Het heeft eindpunten; een lijn heeft die niet En een lijnstuk kan soms een stuk of segment worden genoemd En zo verwijs je aan lijn EF met deze twee pijlen links en rechtswijzend Wat je nu het meeste zult zien typisch Als we Geometrie studeren zijn deze hier Omdat we ons bezig houden Met kanten van vormen, afstanden tussen punten En we praten over al deze dingen Dingen met eindige lengte; Dingen met daadwerkelijke lengte Dingen die niet oneindig in een of twee richtingen doorgaan Dan heb je het over een segment of lijnstuk Als we nu teruggaan naar een lijnstuk om te blijven praten over nieuwe worden Die je in Geometrie tegen kunt komen Als we teruggaan over een lijn te praten ... ik tekende een straal ... Stel ik heb punt X en punt Y En dit is dus lijnstuk XY; dus zo kan ik er naar verwijzen Als ik een ander punt heb Stel dat ik dit punt hier zo heb Laten wij het punt Z noemen En ik stel nog een woord voor X, Y en Z zijn op dezelfde ... ze zijn op de zelfde lijn Als je die lijn voorstelt die oneindig door kan blijven gaan; Dan zijn X, Y en Z collineair Dus deze drie punten zijn collineair Ze zitten allemaal op dezelfde lijn Ze zitten ook allemaal op lijnstuk XY Stel nu dat we weten, we zijn verteld dat XZ gelijk is aan ZY En ze zijn allemaal collineair Dus dat betekent Dat vertelt ons dat de afstand tussen X en Z gelijk is aan de afstand tussen Z en Y En soms markeren we dat zo Deze afstand hier is hetzelfde als die afstand daar Dus dat vertelt ons dat Z precies halverwege tussen X en Y is In deze situatie noemen we Z het middelpunt Het middelpunt van lijnstuk XY omdat het precies halverwege ligt Nu om het af te ronden We hebben gehad over dingen met nul dimensies, punten We hebben het gehad over dingen meet een dimensie: Een lijn, een lijnstuk of een straal Je vraagt misschien wat heeft twee dimensies? Nu in orde om twee dimensies te hebben Dat betekent dat ik heen en weer kan gaan In twee verschillende richtingen Dus deze bladzijde of deze video Of het scherm waar je naar kijkt is een tweedimensionaal object I kan gaan rechts of links en dat is een dimensie of ik kan omhoog omlaag En dus de oppervlakte van de beeldscherm waar je naar kijkt Is eigenlijk twee dimensies Tweedimensionaal Je kunt heen en weer in twee richtinging En dingen die in twee dimensies zijn, die zijn in een vlakte Of we noemen ze vlakken Dus als je een vel papier zou nemen En dan uit zou breiden in alle richtingen, oneindig ver Dat, in Geometrische zin, is een vlakke Het stuk papier zelf, dat is eindig En zo wordt het klassikaal nooit genoemd Maar als we een analogie stellen Zou je een vel papier misschien een vlakstuk kunnen noemen Omdat het een stuk van een heel vlak is Als je een derde dimensie toevoegt dan heb je het over Een driedimensionaal ruimte In driedimensionaal ruimte Kun je niet alleen links en rechts over het scherm of omhoog en omlaag Je kunt ook in en uit het scherm Je kunt ook dit dimensie die ik zal proberen te tekenen Je kunt het scherm in Of je kunt zo het scherm uit Als we naar hogere Wiskunde gaan Alhoewel het erg moeilijk wordt om te visualiseren Zul je zien dat we zelfs dingen kunnen studeren die meer dan drie dimensies hebben