Straal, diameter, omtrek & π

De cirkel is misschien wel de meest fundamentele vorm in ons universum. Of je nu kijkt naar de vorm van de banen van planeten, of je nu kijkt naar wielen, of je nu kijkt naar voorwerpen op moleculair niveau. De cirkel blijf je maar tegenkomen. Daarom is het voor ons de moeite waard om sommige eigenschappen van de cirkel beter te begrijpen. Het eerste wat men ontdekte over de cirkel, en je hoeft maar naar de maan te kijken om een cirkel te zien, maar de eerste keer dat men zich afvroeg wat zijn de eigenschappen van elke cirkel? Het eerste wat ze waarschijnlijk zeiden is dat elk punt op de cirkel een gelijke afstand heeft tot het middelpunt van de cirkel. Alle punten langs deze rand, staan op gelijke afstand van dit middelpunt. Een van de eerst dingen die iemand zich af kan vragen is wat is dan die afstand, die gelijke afstand, dat alles afligt van het midden? Deze We noemen dat de radius van een cirkel. Het is gewoon de afstand van het middelpunt tot de rand. Als de radius 3 centimeter is, dan is deze radius gelijk aan 3 centimeter. En deze radius, zal ook 3 centimeter zijn. Dit zal nooit veranderen. Per definitie, een cirkel is alle punten die op gelijke afstand van het middelpunt liggen. En die afstand is de radius. Het volgende meest interessante ding, waar iemand aan kan denken is hoe dik is de cirkel? Hoe breed is hij op het breedste punt? Of, als je hem doorknipt op het breedste punt, wat is dan de afstand? En het hoeft niet alleen hier te zijn, ik zou hem ook net zo makkelijk hier kunnen knippen op het breedste punt. Ik zou hem alleen niet knippen op een plek als deze want dat is niet op het breedste punt. Er zijn meerdere plekken waar ik kan knippen langs het breedste punt. Nou, we hebben net gezien wat de radius is, en we zien het breedste punt door het middelpunt gaat zonder te stoppen. Dus eigenlijk is het twee radiussen. Hier heb je een radius en hier nog een. We noemen deze afstand langs het breedste punt van de cirkel de diameter. Dus dit is de diameter van de cirkel. Het heeft een makkelijk verband met de radius. De diameter is gelijk aan twee keer de radius. Het volgende wat je je misschien afvraagt is, hoe ver is de afstand rondom de cirkel. Als je met je meetlint om de cirkel heen zou meten, wat is dan de afstand? We noemen dit de omtrek van de cirkel. We weten wat het verband is tussen de diameter en de radius, maar wat is het verband tussen de omtrek en de diameter? En als je niet gewend bent aan het werken met de diameter, is het eenvoudig te bedenken hoe dit verband met de radius is. Duizenden jaren geleden, hebben mensen hun meetlint gepakt en zijn ze omtrekken en radiussen gaan meten. Wanneer de metingen niet precies waren, bijvoorbeeld wanneer ze de omtrek van een cirkel op maten, zeiden ze: nou, het is ongeveer 3. En als ze dan de radius op maten, of de diameter van de cirkel, zeiden ze: nou, het is ongeveer 1. Ze zeiden dus en ik zal het opschrijven We maken ons zorgen over de ratio, de ratio tussen omtrek en diameter. Stel iemand heeft hier een cirkel en de eerste keer meten ze, met een niet zo precies meetlint, rondom de cirkel. En ze vinden dat de omtrek ongeveer gelijk is aan 3 meter. Als ik de diameter van deze cirkel op meet, is deze ongeveer gelijk aan 1. Oké, dat is interessant. Misschien is de ratio van de omtrek ten opzichte van de diameter, gelijk aan 3. Misschien is de omtrek wel altijd gelijk aan 3 keer de diameter. Nou, dat was alleen voor deze cirkel. Stel ze maten een andere cirkel op, hier. Hij ziet er zo uit, ik teken hem iets kleiner. Stel dat ze bij deze cirkel de omtrek maten en deze 6 centimeter was. Ongeveer, ze hadden toen geen precieze meetlinten. Daarna vonden ze dat de diameter ongeveer 2 centimeter was. En ook nu weer, is de ratio tussen de omtrek en de diameter, ongeveer 3. Oké, dit is een mooie eigenschap van cirkels. Misschien is de ratio tussen de omtrek en de diameter altijd constant, voor elke cirkel. Daarom zeiden ze, we gaan dit verder bestuderen. Ze zorgden voor beter meetlinten. Opnieuw maten ze diameter op. De diameter is zeker 1. Dus zeiden ze, de diameter, die is zeker 1. Maar als ik de omtrek meet, lijkt die dichter bij 3.1 te zitten. En het zelfde met de cirkel hier. Ze zagen dat deze ratio ook dichter bij 3.1 lag. Ze bleven het meten beter en beter en beter, tot ze er achter kwamen dat ze steeds een nummer vonden, en ze bleven maar beter meten. Ze vonden dit getal: 3.14159 Ze bleven maar decimalen toevoegen maar deze herhaalde zich nooit. Het was een raar, maar fascinerend getal, dat overal weer in voor bleef komen. Omdat dit getal zo fundamenteel was voor ons universum, omdat de cirkel zo fundamenteel is voor ons universum, en het elke keer weer kwam opdagen bij elke cirkel. De ratio tussen de omtrek en de diameter was een soort van, magische getal, en daarom hebben ze het een naam gegeven. Ze noemden het pi, of je schrijft het als de Latijnse of Griekse letter pi, zo dus. Dat staat voor dit getal, dat waarschijnlijk het meest fascinerende getal in ons universum is. Het kwam als eerste opdagen als de ratio tussen omtrek en diameter, maar je zult leren als je verder komt in de wiskunde, dat het overal voor blijft komen. Het is een van de fundamentele dingen in het universum waardoor je denkt dat overal een logica achter zit. Maar goed, wat kunnen we hier nu mee voor onze basis wiskunde? We weten nu, of ik heb jullie uitgelegd dat, de ratio tussen de omtrek en de diameter -- als ik ratio zeg, zeg ik eigenlijk gewoon de omtrek gedeeld door de diameter, gelijk is aan pi. Pi is gewoon een getal. Ik zou 3.14159 kunnen schrijven, maar het getal gaat oneindig lang door. Het is zonde van de ruimte en moeilijk om mee te rekenen, dus schrijft men gewoon de Griekse letter pi hier. Goed, hoe kunnen we hier een verband van maken? We kunnen beide kanten vermenigvuldigen met de diameter dan kunnen we stellen dat de omtrek gelijk is aan pi keer de diameter. Of omdat de diameter gelijk staat aan twee keer de radius, kunnen we zeggen dat de omtrek gelijk is aan pi keer 2 keer de radius. Of de vorm die jullie waarschijnlijk het vaakst zullen zien: het staat gelijk aan 2 pi r. Laten we nu kijken of we dit kunnen gebruiken om wat vragen op te lossen. Stel ik heb een cirkel, zoals deze, en ik vertel jullie dat de radius -- deze radius, 3 is. 3 dus -- ik schrijf het even op, de radius is gelijk aan 3. Misschien is het 3 meter, laten we wat eenheden toevoegen. Wat is de omtrek van de cirkel? De omtrek staat gelijk aan 2 keer pi keer de radius. Het wordt dus 2 keer pi, keer de radius keer 3 meter, wat gelijk staat aan 6 meter keer pi of 6 pi meters. 6 pi meters. Ik kan dit vermenigvuldigen. Onthoud, pi is gewoon een nummer. Pi is 3.14159 en gaat door en door Als ik dat met 6 vermenigvuldig, krijg ik misschien wel 18 punt iets Als je je rekenmachine hebt, kan je hier voor kiezen. Maar voor de eenvoud kiest men er vaak voor dit in termen van pi te laten staan. Ik weet niet wat je krijgt, wanneer je 6 vermenigvuldigd met 3.14159, ik weet niet of het dicht bij 19 in de buurt ligt of toch dichter bij 18, misschien is het ongeveer 18 punt iets. Ik heb geen rekenmachine bij me. Dus in plaats van het getal op te schrijven, schrijf je nu gewoon 6 pi. Eigenlijk, denk ik niet dat het naar 19 afgerond wordt. Laten we nu een andere vraag stellen. Wat is de diameter van de cirkel? Als de radius gelijk staat aan 3, dan is de diameter twee keer dat. Het wordt dus gewoon 3 keer 2, of 3 plus 3, wat gelijk staat aan 6. De omtrek is dus 6 pi meters, de diameter is 6 meter, de radius is 3 meters. Laten we het nu is omdraaien. Stel ik heb een nieuwe cirkel, deze. En ik zou je vertellen dat de omtrek gelijk staat aan 10 meters. -- Dit is de omtrek. Als je er met een meetlint omheen zou gaan, en iemand zou je vragen wat is de diameter van deze cirkel? Nou we weten dat de diameter keer pi, we weten dat pi keer de diameter, gelijk staat aan de omtrek, die is 10 meter. Dus om dit op te lossen, delen we beide kanten van de vergelijking door pi. De diameter staat gelijk aan 10 meter gedeeld door pi, of 10 gedeeld door pi meters. En dat is gewoon een getal. Als je je rekenmachine hebt, kun je 10 gewoon delen door 3.14159, en krijg je 3 punt iets meters. Ik kan het niet uit mijn hoofd. Maar het is gewoon een getal. Voor de eenvoud laten we het vaak zo staan. Wat is nu de radius? Nou, de radius staat gelijk aan de helft van de diameter. Dus deze hele afstand staat gelijk aan 10 gedeeld door pi meters. Als we alleen de helft willen, als we de radius willen weten, vermenigvuldigen we het gewoon met 0.5 We krijgen dus 0.5 keer 10 gedeeld door pi, wat gelijk staat aan 0.5 keer 10 of je deelt gewoon de teller en de noemer door twee. Dan krijg je hier 5, je krijgt dus 5 gedeeld door pi. De radius is dus, 5 gedeeld door pi. Niks spannends dus. Ik denk dat mensen het meest moeite hebben met het idee dat pi gewoon een getal is. Pi is gewoon 3.14159 en gaat door en door en door. Er zijn duizenden boeken geschreven over pi. Nou ja, ik weet niet of het er duizenden zijn, ik overdrijf een beetje, maar je zou een boek kunnen schrijven over dit getal. Maar het is gewoon een nummer. Het is een speciaal nummer, als je het wilt schrijven op de manier zoals je gewend bent, met cijfers, kan je dit gewoon vermenigvuldigen. Maar meestal komt men er achter dat het makkelijker is om het als term van pi te laten staan. Hoe dan ook, hier stop ik. In de volgende video zullen we de oppervlakte van een cirkel uitzoeken.