Eenvoudige kans: niet-blauwe knikker

Laten we een paar oefeningen uit de module kansberekening 1 doen. We hebben een zak met daarin 9 rode knikkers, 2 blauwe knikkers en 3 groene knikkers. Hoe groot is de kans dat we zonder te kijken een niet-blauwe knikker uit de zak halen? Laten we de knikkerzak even tekenen. Zo dat is 'm. We gaan ervan uit dat het een doorzichtig zakje is. Dit ziet eruit als een vaas.... Ik teken dus 9 rode knikkers, Één, twee, drie, vier, vjf, zes, zeven, acht, negen rode knikkers. Dat lijkt meer op oranje maar je begrijpt wat ik bedoel. Twee blauwe knikkers, dat is één en dat is twee, en dan nog drie groene. Drie groene knikkers, ik teken ze... 1,2,3. Wat is de kans dat we blind een niet-blauwe knikker uit de zak halen? We mixen ze goed door elkaar, nu hebben we evenveel kans om welke kleur dan ook te pakken. Je moet gewoon denken: welk deel van alle mogelijke uitkomsten past binnen onze voorwaarden? Laten we eerst eens kijken naar de mogelijke uitkomsten. Hoeveel verschillende knikkers kunnen we pakken? Dat is gewoon de totale hoeveelheid knikkers.Het zijn er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 14 mogelijke knikkers dus. En welk deel van deze uitkomsten die voldoen aan onze voorwaarden? De andere manier om tot 14 te komen, was door 9 +2 + 3 uit te rekenen. Hoeveel van de mogelijkheden voldoen nu aan onze voorwaarde? Onze voorwaarde is dus dat de knikker niet blauw mag zijn. Oftewel dat een rode of een groene knikker moet zijn. Dus hoeveel niet-blauwe knikker zijn er? Daar kun je op verschillende manieren achter komen. Je kunt zeggen dat er totaal 14 knikker zijn: 2 daarvan zijn blauw, dus er zijn 14 - 2 = 12 niet-blauwe knikkers. Of je kunt ze gewoon tellen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Erf zijn dus 12 niet-blauwe knikkers. Dus dat is het aantal niet-blauwe, en dus van alle mogelijke knikkers, het aantal dat voldoet aan onze voorwaarde. En dan, als we willen, kunnen we de breuk nog vereenvoudigen. Deze breuk kunnen we nog vereenvoudigen want zowel 12 als 14 kun je delen door 2. We delen zowel de noemer als de teller door 2, dan krijg je 6/7. We hebben dus een kans van 6/7 dat we een niet-blauwe knikker uit de zak halen. Laten we er nog eentje proberen. Als iemand een willekeurig getal kiest uit de volgende lijst, hoe groot is dan de kans dat dit nummer een veelvoud van 5 is? Dus nogmaals, we willen het deel van het totale aantal mogelijkheden vinden dat voldoet aan onze voorwaarde: dat het een veelvoud van 5 is. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Eens kijken, hoeveel zijn het er... Het is het totaal aantal getallen waar uit gekozen kan worden. Dus dat zijn er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Dus er zijn 12 mogelijke uitkomsten. We hebben een evenredige kans op elk van deze getallen. Welke zijn nu veelvouden van 5? Laat ik hiervoor een andere kleur nemen, dus wat zijn de veelvouden van 5? 32 is geen veelvoud van 5, 49 ook niet, 55 is er wel eentje. Eigenlijk kijken we gewoon naar getallen die op een 5 of een 0 eindigen. 55 is een veelvoud van 5, 30 is een veelvoud van 5, want dat is 6 keer 5, 55 is 11 keer 5, 56 niet, 28 ook niet, Dit is duidelijk 5 keer 10, dit is 8 keer 5, dit is hetzelfde getal, dus ook 8 keer 5, allemaal veelvouden van 5 dus, 45, 9 keer 5, 3 weer geen veelvoud van 5, 25 natuurlijk 5 keer 5. Ik heb nu alle veelvouden van 5 omcirkeld. Dus alle mogelijkheden die aan onze voorwaarde voldoen. Het zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 mogelijkheden. Dus 7 voldoen er aan onze voorwaarde. Dus in dit geval is de kans dat de keus valt op een getal dat een veelvoud is van 5 gelijk aan 7/12 Laten we er nog eentje doen. De omtrek van een cirkel is 36 pi. Laat ik 'm tekenen, hier is de cirkel... hmm, ik kan wel betere cirkels tekenen. Laten we zeggen: de cirkel lijkt hierop. En de omtrek, let op, ze maken het interessant voor ons, de omtrek is 36 pi, en verder zit er in die cirkel weer een kleinere cirkel, met een oppervlakte van 16 pi. Dus in de grote cirkel hebben we een kleinere cirkel, deze dus, die een oppervlakte heeft van 16 pi. Er wordt een willekeurig punt gekozen binnen de grote cirkel, dus we kiezen zomaar een punt binnen deze grote cirkel. Wat is nu de kans dat deze ook in de kleine cirkel ligt? Dus dit is interessant, want je kan namelijk een oneindig aantal punten in beide cirkels hebben, omdat het hier niet gaat om losse ballen of knikkers, zoals in het eerste voorbeeld, of verschillende getallen. Er is namelijk een oneindig aantal punten dat je zou kunnen kiezen hier, dus als we het over de mogelijkheid hebben dat het punt ook in de kleine cirkel ligt, dan hebben we het in feite over het percentage van alle punten in de buitenste cirkel, die ook in de binnenste cirkel liggen. Een andere manier om ernaar te kijken, is dat de kans dat het punt dat we kiezen in de grote cirkel ook binnen de kleine cirkel ligt, gewoon het percentage is dat de kleine cirkel van de grote cirkel is. Ik weet dat dit verwarrend kan klinken, maar eigenlijk hoeven we er alleen maar achter de komen wat de oppervlakte is van beide cirkels, en dan de verhouding uitrekenen. Je bent misschien geneigd om gewoon die 36 pi te nemen, maar dat was de omtrek, en we hebben de oppervlakte van de cirkels nodig. Om de oppelvlakte uit te rekenen, hebben we de straal nodig, want de oppervlakte van een cirkel is pi maal het kwadraat van de straal. We kunnen de straal achterhalen, want de omtrek is gelijk aan twee maal pi maal de straal, dus als het 36 pi is, wat dus de omtrek is, dan is 36 dus 2 keer pi maal de straal. We kunnen beide zijden door 2 pi delen, dan wordt aan de linkerkant 36 gedeeld door 2 is 18 en pi gedeeld door pi, heft de pi op 18 dus, de grote cirkel heeft een straal van 18. Nu de oppervlakte, dat is dus pi maal het kwadraat van de straal, dus pi maal het kwadraat van 18. Wat is het kwadraat van 18? 18 keer 18, dat is 8 x 8 = 64, 8 x 1 = 8, plus 6 is 14, en dan wordt het dus nul omdat we niet op de plek van de tientallen zitten, en 1 x 8 = 8, 1 x 1 = 1, en dit is eigenlijk 10 x 10, dus wordt het 100. nu, 4 + 0 = 4, 4 + 8 = 12 en dan 1 + 1 + 1 = 3, dus dat is 324. De oppervlakte is dus pi keer 324, oftewel 324 pi. Dus de gehele oppervlakte van de grote cirkel, dat wat ik geel gemaakt heb, ook het stukje wat hier onder dit oranje cirkeltje ligt als je het zo wilt zien, dat hele gebied gelijk aan 324 pi. Dus de kans dat we een punt kiezen uit de grote cirkel dat ook in de kleine cirkel ligt, is dus het percentage van de grote cirkel dat in de kleine cirkel ligt, dus de kans is, ik schrijf het gewoon zo, de kans dat dat punt ook in de kleine cirkel ligt... ik zou het zo zeggen, de kans daarop is het percentage van deze grote cirkel dat gelijk is aan de kleine cirkel, dus dat wordt.... het deel van de oppervlakte van de grote cirkel dat ook bedekt wordt door de oppervlakte van de kleine cirkel. Dat is dan dus 16pi van de 324 pi. De pi's heffen elkaar op, en beide getallen zijn deelbaar door 4, dus als we de teller door 4 delen krijgen we 4, en delen we de noemer door 4, wat krijgen we dan? 4 past 80 keer in 320, en 1 keer in 4, dus dat wordt 81. Dus de kans is... ik heb het niet eens goed op schaal getekend, de oppervlakte zou veel kleiner zijn, als ik het echt op schaal getekend had. De kans dat je, als je zomaar een willekeurig punt kiest binnen de grote cirkel, dat punt in de kleine cirkel ligt, is de ratio van de oppervlaktes, de verhouding van de oppervlakte van de kleine tot de oppervlakte van de grote cirkel, en dat is 4:81, 4/81 is de beste manier om het te zeggen.