Eenvoudige vergelijkingen van de vorm ax=b

Stel, we hebben de vergelijking 'zeven maal x is gelijk aan veertien'. Voordat we nog maar proberen om deze vergelijking op te lossen, wil ik eerst even nadenken over wat dit eigenlijk betekent. Zeven x is gelijk aan veertien, dit is hetzelfde als zeggen dat zeven maal x - dit schrijf ik in oranje - gelijk is aan 14. Dit kun je misschien uit je hoofd doen. Je kunt letterlijk de tafel van 7 langsgaan. Je lunt zeggen: 7 maal 1 is gelijk aan 7, dus dat klopt niet. 7 maal 2 is gelijk aan 14, dus met 2 klopt het wel. Je kunt dit onmiddellijk oplossen. Je kunt meteen, door verschillende getallen te proberen, zeggen: dit wordt een ​​2. In deze video gaan we nadenken over hoe we dit systematisch kunnen aanpakken. Want als deze vergelijkingen steeds ingewikkelder worden, kun je ze niet meer zomaar uit je hoofd doen. Het is echt belangrijk dat je begrijpt hoe je deze vergelijkingen kunt aanpakken, maar nog belangrijker dat je begrijpt wat ze betekenen. Dit is letterlijk 7 maal x is gelijk aan 14. In algebra schrijven we geen "maal". Als je twee nummers naast elkaar schrijft of een nummer naast een variabele zoals hier, betekent het gewoon dat je ze moet vermenigvuldigen. Het is een afkorting, een verkorte schrijfwijze. In het algemeen gebruiken we geen vermenigvuldigingsteken, omdat het verwarrend is. x is de meest voorkomende variabele in algebra. Als ik 7 maal x is gelijk aan 14 schrijf, en ik schrijf mijn maalteken of mijn x een beetje vreemd, lijkt het op xx of maal maal. In het algemeen, wanneer je te maken hebt met vergelijkingen, en vooral wanneer een van de variabelen een x is, kan je beter geen gebruik maken van het traditionele vermenigvuldigingsteken. Je zou iets kunnen gebruiken als dit - je zou een stip kunnen gebruiken om vermenigvuldiging aan te geven. Je zou 7 maal x is gelijk aan 14 kunnen schrijven. Maar dit is nog steeds een beetje vreemd. Als je iets wilt vermenigvuldigen met een variabele schrijf je gewoon 7x. Dat betekent letterlijk 7 maal x. Om te begrijpen hoe je deze vergelijking kunt manipuleren om hem op te lossen, gaan we dit visualiseren. 7 maal x, wat is dat? Dat is hetzelfde - ik ga deze vergelijking herschrijven, maar dan in visuele vorm. 7 maal x. Dat betekent letterlijk dat x 7 keer bij zichzelf wordt opgeteld. Dat is de definitie van vermenigvuldigen. Het is letterlijk x plus x plus x plus x plus x - ik heb nu 5 x'en - plus x plus x. Dit zijn letterlijk 7 x'en. Dit is 7x. Dit is 7x. Dit hier is 7x. Deze vergelijking vertelt ons dat 7x gelijk is aan 14. Dit is dus gelijk aan 14. Ik ga hier 14 objecten tekenen. Ik heb hier dus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. We zeggen letterlijk dat 7x gelijk is aan 14 dingen. Dit zijn gelijkwaardige verklaringen. Ik heb het op deze manier getekend, zodat je echt begrijpt wat we gaan doen als we beide kanten gaan delen door 7. Ik ga dit even uitwissen. De standaard stap als - dat wilde ik niet doen, ik ga nog even die laatste cirkel tekenen. In het algemeen, wanneer je een vergelijking gaat vereenvoudigen tot een - een coëfficiënt is het getal waarmee we de variabele vermenigvuldigen. een coëfficiënt is het getal waarmee we de variabele vermenigvuldigen. Dus het is een getal dat de variabele vermenigvuldigt, de coëfficiënt maal een variabele is gelijk aan iets anders. de coëfficiënt maal een variabele is gelijk aan iets anders. In dit geval wil je simpelweg beide kanten door 7 delen of beide kanten door de coëfficiënt delen. Als je dus beide kanten door 7 deelt, wat krijg je? 7 maal iets gedeeld door 7 is simpelweg dat oorspronkelijke iets. De 7's heffen elkaar op en 14 gedeeld door 7 is 2. Dus je oplossing wordt: x is gelijk aan 2. Maar om het heel tastbaar in je hoofd te maken, wat hier gebeurt is dat, wanneer we beide kanten van de vergelijking delen door 7, we letterlijk beide kanten delen door 7. Dit is een vergelijking. Dat betekent dat dit gelijk is aan dat. Alles wat ik doe aan de linkerkant moet ik rechts ook doen. Als ze in het begin gelijk zijn, kan ik niet alleen iets doen aan de éne kant als ze gelijk moeten blijven. Ze waren hetzelfde. Als ik de linkerkant door 7 deel - ik ga dit opdelen in zeven groepen. Er zijn hier dus zeven x'en, één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven. Er zijn dus één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven groepen. Als ik dat nu verdeel in zeven groepen, zal ik ook de rechterkant in zeven groepen moeten verdelen. Eén, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven. Dus als dit hele ding gelijk is aan dit hele ding, dan gaat elk van deze kleine stukjes waarin we beide kanten hebben opgebroken gelijk zijn. dan gaat elk van deze kleine stukjes waarin we beide kanten hebben opgebroken gelijk zijn. Je kunt dus zeggen dat dit stukje gelijk is aan dat stukje. En dit stukje gelijk aan dat stukje -- ze zijn allemaal gelijk. Er zijn zeven stukjes hier, zeven stukjes hier. Dus elke x moet gelijk zijn aan twee van deze objecten. Dus we krijgen x is gelijk aan -- in dit geval gebruikten we objecten, daar waren er twee van. x gelijk is aan 2. Nu, laten we nog een paar voorbeelden doen zodat het echt goed in je hoofd zit dat we te maken hebben met een vergelijking en dat wat je aan de ene kant doet, je ook aan de andere moet doen. Ik scroll een beetje naar beneden. Laat ons zeggen dat ik '3 maal x is gelijk aan 15' heb. Je kunt dit misschien weer uit je hoofd doen. Hier staat 3 maal een bepaald getal is gelijk aan 15. Je kunt de tafel van 3 langsgaan om dit op te lossen. Maar als je het systematisch wil doen, en het is goed om het systematisch te begrijpen, zeg je dit ding aan de linkerkant is gelijk aan dit ding aan de rechterkant. Wat moet ik doen met dit ding aan de linkerkant zodat er alleen nog een x staat? Om daar alleen een x te hebben, moet ik het delen door 3. Ik doe dit omdat 3 maal iets gedeeld door 3, dan heffen de 3'en elkaar op en blijft alleen de x over. dan heffen de 3'en elkaar op en blijft alleen de x over. 3x was gelijk aan 15. Als ik de linkerkant deel door 3, en de gelijkheid moet blijven gelden, dan moet ik ook de rechterkant delen door 3. Wat geeft dat ons? Aan de linkerkant houden we slechts een x over, het wordt dus gewoon x. En de rechterkant, wat is 15 gedeeld door 3? Dat is gewoon 5. Je zou dit ook op een andere manier kunnen bekijken, hoewel deze manier in feite net hetzelfde is. Als ik begin met 3x gelijk aan 15, dan zou je kunnen zeggen, Sal, in plaats van te delen door 3, kan ik die 3 niet wegwerken door beide kanten te vermenigvuldigen met 1/3? door beide kanten te vermenigvuldigen met 1/3? Als ik beide kanten vermenigvuldig met 1/3 zou dat ook moeten werken. Je zegt, kijk, 1/3 van 3 is 1. Als je dit deel vermenigvuldigt met 1/3, dan blijft alleen 1x over. 1x is gelijk aan 15 maal één derde en dat is gelijk aan 5. 1 maal x is hetzelfde als x, dus dit is hetzelfde als x is gelijk aan 5 Dit zijn gelijkaardige manieren om dit op te lossen. Als je beide kanten deelt door 3, is dit hetzelfde als beide kanten van de vergelijking vermenigvuldigen met 1/3. We gaan er nog een doen, en die maak ik een beetje moeilijker. Ik ga de variabele veranderen. Ik heb... 2y plus 4y is gelijk aan 18. Dit wordt moeilijker om uit je hoofd op te lossen. Hier staat: 2 maal iets plus 4 maal datzelfde iets moet gelijk zijn aan 18. Het is niet makkelijk om te zien welk getal dat zou zijn. Je zou het kunnen proberen. Bijvoorbeeld, als y 1 is, dan krijg je 2 maal 1 plus 4 maal 1, en dat is geen goede oplossing. Maar laten we dit systematisch aanpakken. Je zou kunnen blijven raden en misschien vind je op die manier het antwoord, maar hoe los je dit nou systematisch op? Laten we dit visualiseren. Als ik twee y's heb, hoe ziet dat er uit? Dat betekent dat ik twee y's bij elkaar heb opgeteld, dus dat is letterlijk y plus y. En daarbij tel ik nog 4 y's op. Als ik er vier y's bij optel, dan heb ik 4 y's achter elkaar. Dus dat is y plus y plus y plus y. En dat moet gelijk zijn aan 18. Dat is gelijk aan 18. Hoeveel y's heb ik nu aan de linkerkant? Hoeveel y's heb ik? Ik heb een, twee, drie, vier, vijf, zes y's. Je kunt dit vereenvoudigen tot 6y is gelijk aan 18. Als je erover nadenkt, is dat heel logisch. Dus wat hier staat, 2y plus 4y, is 6y. 2y plus 4y is 6y, en dat is logisch. Als ik 2 appels heb en daar 4 appels bij, dan heb ik 6 appels. Als ik 2 y's heb plus 4 y's, dan heb ik dus 6 y's. Dat is gelijk aan 18. Nu begrijpen we, hoop ik, hoe we dit oplossen. Ik heb hier 6 maal iets is gelijk aan 18. Als ik beide kanten van de vergelijking door 6 deel, los ik op naar dat iets. Dus ik deel de linkerkant door 6, en de rechterkant door 6. Wat overblijft is: y is gelijk aan 3. Dit kun je uitproberen. Dat is zo leuk aan vergelijkingen. Je kunt altijd controleren of je antwoord juist is. Laten we het uitproberen. 2 maal 3 plus 4 maal 3 is gelijk aan wat? 2 maal 3, dat is 6. En 4 maal 3 is 12. 6 plus 12 is, inderdaad, gelijk aan 18. Dus het klopt.