Eigenschappen van vermenigvuldiging

Als je kijkt naar deze roosters van 4 bij 6 cirkeltjes dan is het duidelijk dat er 24 van deze groene cirkels in elk figuur zit. Maar wat ik wil laten zien is dat je 24 kan krijgen of het product van 3 getallen op verschillende manieren en het maakt niet uit welk product je eerst neemt, of in welke volgorde je ze neemt. Laten we daar eerst over nadenken. Ik heb ze zo ingekleurd dat ik 3 groepen van 4 heb als je kijkt naar de blauwe lijnen. Dit is een groep van 4, 2 groepjes van 4 en 3 groepjes van 4. Ik zal het nog iets duidelijker maken: 1 groep van 4, 2 groepen van 4 en 3 groepen van 4. Dus deze 3 kolommen kun je zien als 3 keer 4. Nu hebben we hier nog een keer 3 keer 4. We hebben 1 groep van 4, 2 groepen van 4 en 3 groepen van 4. Dus deze twee kan je zien als 2 keer 3 keer 4. We hebben één 3 keer 4 en dan hebben we nog een 3 keer 4. Dus het gehele ding kunnen we zien als Even iets meer ruimte maken... dit doe ik in blauw als 2 keer 3 keer 4 Dat is het totaal aantal cirkels hier en dat zie je aan de kleur. En als je natuurlijk eerst 3 keer 4 doet krijg je 12, en als je dat vermenigvuldigt met 2 krijg je 24 Wat het totaal aantal van deze 3 dingen is. En ik moedig je nu aan om naar de andere twee te kijken, het filmpje te pauzeren, en te denken wat de producten van die twee zijn als je eerst naar de blauwe groepen kijkt, dan naar het paarse zoals we daarnet deden en laat zien dat het product nog steeds 24 is. We nemen aan dat het filmpje gepauzeerd hebt dus je ziet hier in dit eerste gebied dat we 2 groepen van 4 hebben dit is 2 keer 4. We hebben een groep van 4, nog een groep van 4, dat is 2 keer 4. We hebben een groep van 4, nog een groep van 4, dat is ook 2 keer 4 als je kijkt naar het paarse gebied. Een groep van 4, nog een groep van 4. Dat is ook 2 keer 4. Dus we hebben driemaal 2 keer 4. Dus als we naar alles tezamen kijken dan is dit 3 keer 2 keer 4. Dus 3 keer 2 keer 4. 2 keer 4. Let op, ik gebruikte een andere volgorde, hier deed ik eerst keer 3 en hier deed ik eerst 2 keer 4. Maar net als eerder, 2 keer 4 is 8, 8 keer 3 is nog steeds gelijk aan 24 zoals hoort aangezien we precies 24 van deze groene cirkels hebben. Pauzeer nogmaals dit filmpje en probeer hetzelfde hier te doen. Kijk naar het blauwe, dan naar de paarse groepen, en probeer deze 24 als een product uit te schrijven van 2, 3 en 4. Zie je dat we eerst deze groepen van 3 hadden. Dus we hadden 1 groep van 3 in het paarse gebied. Twee groepen van 3 in het paarse gebied. Dus dat kun je zien als 2 keer 3. En we hebben een 3 en nog een 3 dus in dit paarse gebied is nog een 2 keer 3. We hebben nog een 2 keer 3. Oeps, 2 keer 2. We hebben 2 keer 3. 2 keer 3, en uiteindelijk hebben we viermaal 2 keer 3. Dus hoeveel 2 keer 3 hebben we hier? We hebben één, twee, drie , vier 2 keer 3. Dus dat geheel kunnen we schrijven als 4 keer 2 keer 3. Waar zal dit gelijk aan zijn? Nou, het moet 24 zijn en dat kunnen we bewijzen: 2 keer 3 is 6 keer 4 is inderdaad 24. Het idee wat ik laat zien is dat de volgorde waarin je vermenigvuldigt niet belangrijk is. Ik zal het verduidelijken. Ik kies nog een ander voorbeeld, een compleet nieuw voorbeeld. Laten we zeggen dat ik heb 4 keer 5 keer 6. Je kunt deze vermenigvuldiging doen op meerdere manieren. Je kunt eerst 4 keer 5 doen of je doet eerst 4 keer 5 keer 6. Ik moedig je aan dit filmpje te pauzeren en aan te tonen dat deze twee dingen gelijk zijn. Dit heet eigenlijk de associatieve eigenschap. Het maakt niet uit hoe je deze dingen associeert, Welke je als eerste doet. Ook de volgorde maakt niet uit. We hebben dat heel vaak gezien. Of je nu dit doet, of je doet 5 keer 4, keer 6. Ik heb 5 en 4 omgewisseld. Dit maakt niet uit. Of je nu dit doet of 6 keer 5 keer 4. Het maakt niet uit. Hier heb ik de 6 en 5 keer 4 omgewisseld. Al deze berekeningen geven uiteindelijk dezelfde waarde, en pauzeer dus ook de film. Dus als we praten over welke we als eerste doen, of we eerst 4 keer 5 of 5 keer 6 doen. Dat heet de associatieve eigenschap wat een duur woord is voor zoiets simpels. En als we zeggen dat de volgorde niet uitmaakt, dat het niet uitmaakt of we 4 keer 5 of 5 keer 4 doen, dat heet de commutatieve eigenschap. En nogmaals, een duur woord voor zoiets simpels, betekent gewoon dat de volgorde niet uitmaakt.