Eigenschappen en patronen van vermenigvuldigingen

Eigenschappen en patronen voor vermenigvuldigen We gaan uitzoeken hoeveel ballonnen we hier hebben. En natuurlijk zouden we deze gewoon kunnen tellen. Maar er zijn andere manieren om hier naar te kijken vooral omdat ze hier liggen, speciaal gesorteerd mooi gesorteerd, in een rasterpatroon. En de reden waarom het handig is, dat je niet altijd hoeft te tellen, maar dat het handig om het vermenigvuldigen te gebruiken met het aantal rijen en kolommen is dat, je misschien in dingen rolt of je komt in aanraking met deze dingen waar het erg moeilijk wordt om bepaalde dingen te tellen maar het is misschien makkelijker om de rijen te tellen en de kolommen te tellen. Bijvoorbeeld, hier zie je dat we 1, 2, 3, 4 rijen hebben. En we hebben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, kolommen. Zo kun je deze 4 zien als als een reeks van voorwerpen waar we 4 rijen hebben. Ik zal het even opschrijven. We hebben 4 rijen en 7 kolommen. En misschien herinner je het nog dat we het totale aantal voorwerpen kunnen berekenen door de rijen en kolommen te vermenigvuldigen-- 4 rijen maal 7 kolommen. Nu... waarom werkt dit? Waarom geeft dit ons het eigenlijke aantal voorwerpen? Nou, we moeten het zo zien-- we hebben 4 rijen. Dus we hebben 4 groepen met voorwerpen. En hoeveel van deze dingen zitten er in elk van deze rijen? Nou, het aantal van de kolommen. We hebben 7 dingen in elk van deze 4 rijen-- dus 4 groepen van 7. Of je kunt het precies andersom bekijken. Je kunt het ook zo zien dat elke kolom een groep is. Dus dan hebben we 7 groepen. En hoeveel voorwerpen heb je in elke kolom? Nou, dat is wat de rijen je vertellen. Je hebt 4 dingen in elke kolom zitten. En we weten al dat beide hoeveelheden hetzelfde aantal gaan vinden, het aantal voorwerpen dat we hier hebben. Dus deze twee dingen zijn gelijk. 4 keer 7 is gelijk aan 7 keer 4. En er zijn een heleboel manieren om deze te berekenen. We kunnen steeds tellen per 4. We zeggen 4 keer 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. En laten we eens kijken. Laten we er zeker van zijn dat dit 7 is. Dus 4 keer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7-- dus we krijgen 28. We kunnen berekenen dat er 28 voorwerpen zijn. En uiteraard kunnen we in stappen van 7 tellen. Dus we kunnen 7-- 7 keer 2 is 14 keer 3 is 21, keer 4 is 28, door er elke keer 7 bij op te tellen. En zo verkrijgen we 28 maar dan andersom geteld. Laten we dat in dezelfde kleur doen. We kunnen 28 krijgen maar dan precies andersom. Maar als je nu in een situatie zit waarbij je het niet weet-- waar je geen van de twee methoden wilt gebruiken of het moeilijk is om deze methoden toe te passen of je weet niet wat 4 keer 7, met hoofdrekenen, wat je eigenlijk zou moeten weten in de nabije toekomst. Is er een manier om dit op te breken in iets dat je misschien weet of dat het gemakkelijker maakt om te berekenen? Nou, je weet wel dat 7 kolommen hetzelfde is 5 kolommen en dan 2 kolommen. Dus je kan 7 kolommen bekijken als-- deze 5 kolommen hier-- plus 2 kolommen. Dus dat is hetzelfde als zeggen dat 4 keer 7 hetzelfde is als 4 keer 5 plus 2. En het enige wat ik doe, is de 7 vervangen door een 5 plus 2. 7 is vervangen met 5 plus 2. Nu, waarom is dit interessant? Nu kan ik het splitsen in 2 blokken. Dus ik kan zeggen, kijk, er is een blok met 4 rijen en 2 kolommen zoals je hier ziet. En dan is er een blok met 4 rijen en 5 kolommen zoals je hier ziet. Dus hoeveel voorwerpen zitten er in deze, in de gele hier? Nou, er zijn 4 keer 5 voorwerpen. Dus er zijn 4 keer 5 voorwerpen in het gele rooster of in het gele blok En hoeveel zijn er in dit oranje-achtig gekleurde ding? Nou, daar vinden we 4 keer 2. En als we de som van 4 keer 5 nemen en de 4 keer 2, wat krijgen we dan? Nou, dan krijgen we de 4 keer de 7. We krijgen de 4 keer de 5 plus 2 Dus als we deze dingen bij elkaar optellen-- en we gaan als eerste vermenigvuldigen, dus zet ik hier haakjes om om de benadrukken dat-- dit hetzelfde is als deze dingen die je hierboven ziet. En dus zul je misschien zeggen, oh, nou, ik weet wat 4 keer 5 is. 4 keer 5 is 20. 4 keer 2 is 8. 20 plus 8 is 28. En misschien zeg je, OK, Sal, ik snap het. 4 keer 7 is 28, wat hetzelfde is als 4 keer 5 plus 2. En ik zie dat dit hetzelfde is als 4 keer 5 plus 4 keer 2. En dit heet dus distributieve eigenschap-- dat 4 keer 5 plus 2 hetzelfde is als 4 keer 5 plus 4 keer 2. Maar ik kan ook een van de eerste technieken nemen waarover we hebben gesproken. Waarom is deze distributieve eigenschap die je hebt laten zien, nuttig voor berekeningen of het oplossen van vermenigvuldigingsproblemen? Nou, ik ga je een iets moeilijkere som geven. Stel dat je 6 maal 36 wilt vermenigvuldigen Eigenlijk hoef ik dit haakje niet te schrijven. Dus hoe kun je dit doen? Nou, je kunt 36 opsplitsen in twee producten of in twee getallen zodat het gemakkelijker wordt om het product te vinden van dat en 6. Dus bijvoorbeeld 36, is hetzelfde als 30 plus 6. Dus zal gelijk zijn aan 6 keer 30 plus 6. En wat gaat dit zijn? Nou, we hebben net gezien. 6 keer deze twee dingen eerst bij elkaar optellen, en dat is dan gelijk aan 6 keer 30 plus 6 keer 6. Let op, we verdelen de 6-- 6 keer 30 plus 6 keer 6. Nu, waarom is dit zo bruikbaar? Waarom is dit überhaubt bruikbaar? Ik ga haakjes gebruiken om het te benadrukken. We gaan eerst vermenigvuldigen. In het algemeen, als je een vermenigvuldiging en optelling ziet in een rij zoals deze, of deling, dan wil je eerst je vermenigvuldiging of deling doen, daarna ga je optellen en aftrekken. Dus wat is 6 keer 30? Nou, dit is gemakkelijker te berekenen. 6 keer 3, dat weten we is 18. Dus 6 keer 30 wordt 180. en 6 keer 6-- daarvan weten we dat dit 36 is. Dus dit wordt dan 180 plus 36. En hoeveel gaat dat worden? 180 plus 36-- Nou, 0 plus 6 is 6. 8 plus 3 is 11. 1 plus 1 is 2. We hebben dus uitgerekend dat 6 keer 36 is gelijk aan 216. En wat we net hebben gedaan met de distributieve eigenschap, is de manier waarop je gaat vermenigvuldigen met allerlei soorten grotere getallen, veel groter dan wat we net hebben gezien. Dus de distributieve eigenschap, waarvan je hopelijk nu bent overtuigd, gebaseerd op hoe je de getallen splitst, is een super bruikbaar ding als je steeds grotere en grotere getallen wilt berekenen. En je gaat het nog handiger vinden wanneer je verder komt in je wiskundige carrière.