Variabelen, uitdrukkingen & vergelijkingen

Als we bezig zijn met simpele getaltheorie zien we daar de concrete getallen. We zien 23 + 5. We weten wat deze getallen zijn en we kunnen ze berekenen. Dit wordt 28. We kunnen 2 x 7 zeggen. We kunnen 3 / 4 zeggen. In al deze gevallen weten we precies met welke getallen we bezig zijn. Als we de algebraïsche wereld binnengaan en je hebt hier waarschijnlijk al iets van gezien, beginnen we met het idee van variabelen. Er zijn meerdere manieren om over variabelen te denken, maar het zijn eigenlijk waarden en uitdrukkingen die kunnen veranderen. De waarden in deze uitdrukkingen kunnen veranderen. Dus ik schrijf bijvoorbeeld x + 5 en dat is een uitdrukking. Deze kan een waarde aannemen, afhankelijk van de waarde van x. Als x gelijk is aan 1, dan in x + 5, onze vergelijking hier, is x gelijk aan 1, want x is nu 1. Het wordt 1 + 5. Dus x + 5 zal gelijk zijn aan 6. Als x gelijk is aan, zeg, -7, dan zal x + 5 uitkomen op... Nu x -7 is wordt het -7 + 5, wat uitkomt op -2. Dus let op. x is hier een variabele en zijn waarde verandert, afhankelijk van de context. En dit is in de context van een uitdrukking. Je zult dit ook zien in de context van een vergelijking. Het is belangrijk om het verschil te begrijpen tussen een uitdrukking en een vergelijking. Een uitdrukking is simpelweg een weergave van waarde, een weergave van een soort hoeveelheid. Dus dit is een uitdrukking. Een uitdrukking zou iets zijn als, als wat we hier zagen. x + 5 De waarde van deze uitdrukking zal veranderen, afhankelijk van de waarde van deze variabele. Je kunt dit berekenen voor verschillende waarden van x. Een andere uitdrukking zou iets kunnen zijn als y + z, bijvoorbeeld. Nu is alles een variabele. Als y 1 is en z is 2, dan wordt dit 1 + 2. Als y 0 is en z is -1, dan wordt dit 0 + -1. Dit kan allemaal worden berekend en ze zullen je een waarde geven die afhankelijk is van de waarde van de variabelen die in de uitdrukking staan. In een vergelijking worden twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk gesteld, daarom heten ze 'vergelijkingen'. Je vergelijkt twee dingen. In een vergelijking wordt een uitdrukking gelijkgesteld aan een andere uitdrukking. Dus het zou iets kunnen zijn als... x + 3 = 1 In deze situatie, waar je een uitdrukking hebt, waar je één uitdrukking hebt met maar één onbekende, kun je uitrekenen wat x moet zijn in dit scenario en je kunt het misschien zelfs uit je hoofd doen. Wat plus 3 is gelijk aan 1? Je kunt dat uit je hoofd doen. Als x -2 is, is -2 + 3 gelijk aan 1. Dus in deze context beperkt een vergelijking welke waarde deze variabele aan kan nemen, maar het beperkt niet altijd zo sterk. Je kunt een vergelijking hebben als x + y + z = 5 Nu heb je deze uitdrukking, die gelijk is aan deze uitdrukking. 5, hier, is een uitdrukking. En er zijn een paar beperkingen. Als iemand je vertelt waar y en z voor staan, dan kun je x berekenen. Als iemand je vertelt waar x en y voor staan, dan beperkt dat de waarde van z. Maar het hangt af van deze verschillende waarden. Dus, bijvoorbeeld, we zeggen dat y 3 is en z is 2. Wat zou x zijn in dit geval? Dus als y 3 is en z is 2, dan krijg je, de linkeruitdrukking wordt dan x + 3 + 2, dat is x + 5, want dit hier wordt 5. Dus x + 5 = 5. En wat + 5 = 5? Nu we dit zo beperkt hebben moet x wel... moet x gelijk staan aan 0. Belangrijk hier is het verschil tussen een uitdrukking en een vergelijking. Een vergelijking is simpelweg het vergelijken van twee uitdrukkingen. Wat belangrijk is, is dat een variabele verschillende waarden aan kan nemen, afhankelijk van de context. Om dit door te laten dringen gaan we een aantal uitdrukkingen berekenen, voor verschillende waarden van de variabelen. Dus, als we bijvoorbeeld de volgende uitdrukking hebben: x tot de macht y Als x dan gelijk is aan 5 en y is gelijk aan 2, y is gelijk aan 2, dan is de uitkomst van deze uitdrukking... Als x hier 5 is, x is 5, y is 2, dan wordt dit 5 tot de tweede. En dat komt neer op 25. Als we de waarden veranderen, als we voor de waarde van x, even dezelfde kleur pakken, als we x gelijkstellen aan -2 en y aan 3 dan zou deze uitdrukking neerkomen op, weer even de juiste kleur pakken, dat zou neerkomen op, -2, dat vullen we in voor x in deze context en y is 3. -2 tot de derde macht, dat is -2 x -2 x -2 dat is -8 -2 x -2 = +4 4 x -2 is -8. is -8. Dus afhankelijk van deze waarden... We kunnen nog complexere dingen doen. We kunnen een uitdrukking hebben als de vierkantswortel van x + y min x. Als x gelijk is aan 1 en y is gelijk aan 8, dan zou deze uitdrukking neerkomen op... Voor elke x vullen we een 1 in, dus hier staat dan een 1 en hier staat dan een 1. En voor elke y vullen we een 8 in. In deze context zetten we de variabelen zo dat hier een 8 staat. Dus onder het wortelteken staat 1 + 8. Dus de vierkantswortel van 9, dat is 3. Dus in deze context wordt dit gemakkelijker. Als we deze waarden toewijzen aan de variabelen, kun je dit vereenvoudigen tot 3. 1 + 8 is 9, de wortel daarvan is 3 en dan krijg je 3 - 1 wat gelijk is aan 2.