Eigenschappen van machten met quotiënten

Laten we wat voorbeelden doen met exponenten in combinatie met delingen. Zeg ik word gevraagd wat 5 tot de zesde macht is gedeeld door 5 tot de tweede macht? We kunnen kijken was de basis definitie is van een exponent en 5 tot de zesde macht, dat is 5 keer 5 keer 5 keer 5 keer 5 keer 5 5 keer zichzelf, zes maal. En 5 kwadraat, dat is 5 keer zichzelf, twee maal, dus dit wordt 5 keer 5. We weten hoe we een breuk of een rationale uitdrukking als deze moeten vereenvoudigen We kunnen de teller en noemer delen door 5, en dan heffen deze elkaar op. En dan kunnen we dat met nog een 5 doen, dus deze 5 en deze 5 heffen elkaar op. En waar blijven we mee zitten? 5 keer 5 keer 5 keer 5 gedeeld door 1, of dit is 5 tot vierde macht. Let op wat er gebeurt. We begonnen met zes in de teller, zes 5-en vermenigvuldigd met zichzelf, en toen hieven we ze op. We konden ze met de 2 in de noemer opheffen. Dus dit was eigenlijk gelijk aan 5 tot de macht zes min twee. Dus we konden de exponent in de noemer aftrekken van de exponent in de teller. En bedenk hoe dit relateert aan vermenigvuldiging. Als ik 5 tot de macht zes had, keer 5 tot de macht twee, zagen we in de vorige video dat dit gelijk is aan 5 tot de macht zes plus twee. dat dit gelijk is aan 5 tot de macht zes plus twee. Nu zien we een nieuwe eigenschap. En in de volgende video gaan we zien dat dit niet echt verschillende eigenschappen zijn. Ze zijn twee kanten van dezelfde medaille wanneer we leren over negatieve exponenten. Maar in deze video zagen we net dat 5 tot de zesde macht gedeeld door 5 tot tweede de macht gelijk is aan 5 tot de macht zes min twee. gelijk is aan 5 tot de macht zes min twee. Oftewel, 5 tot de vierde macht. Hier wordt het 5 tot de achtste. Dus wanneer je exponenten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigd, dan tel je de exponenten op. Dus wanneer je exponenten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigd, dan tel je de exponenten op. Wanneer je deelt met hetzelfde grondtal, trek je de noemer exponent van de teller exponent af. Laten we een stapel voorbeelden doen. Wat is 6 tot de zevende macht gedeeld door 6 tot de derde macht? Nogmaals, we kunnen gewoon deze eigenschap gebruiken. Dit wordt 6 tot de macht 7 min 3, dat is gelijk aan 6 tot de vierde macht. Je kan dit uit vermenigvuldigen zoals we deden in de eerste opgave en verifiëren dat het inderdaad 6 tot de vierde macht is. Laten we iets interessants proberen. Dit gaat een goed vervolg krijgen in de volgende video. Zeg we hebben 3 tot de vierde macht gedeeld door 3 tot de tiende macht. Als we uitgaan van de basis principes, dan is dit 3 keer 3 keer 3 keer 3 gedeeld door 3 keer 3-- we krijgen er hier tien van-- 3 keer 3 keer 3 keer 3 keer 3 keer 3. Op hoeveel zitten we? Een, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien. Als we doen wat we in de laatste video deden, dan heft deze 3 deze 3 op. Deze 3 heffen elkaar op. Deze 3 heffen elkaar op. Deze 3 heffen elkaar op. En we blijven zitten met 1 gedeeld door-- een, twee, drie, vier, vijf, zes 3-en. Dus 1 gedeeld door 3 tot de zesde macht, toch? We hebben 1 gedeeld door al deze 3-en hier. Maar de eigenschap waarover ik je zojuist verteld heb, zou je vertellen dat dit ook gelijk moet zijn aan 3 tot de macht 4 min 10. Wat is 4 min 10? Je komt uit op een negatief getal. Dit is 3 tot de min zesde macht. Dus door deze eigenschap te gebruiken, krijg je 3 tot de min zesde macht. Dus door deze eigenschap te gebruiken, krijg je 3 tot de min zesde macht. Door ze weg vermenigvuldigen krijg je 1 gedeeld door 3 tot de zesde macht. Door ze weg te vermenigvuldigen krijg je 1 gedeeld door 3 tot de zesde macht. En het leuke van dit allemaal is dat dit dezelfde hoeveelheden zijn. En het leuke van dit allemaal is dat dit dezelfde hoeveelheden zijn. Nu leren we een beetje meer over wat een negatieve exponent inhoud. 3 tot de min zesde macht is gelijk aan 1 gedeeld door 3 tot de zesde macht. En ik ga heel veel meer voorbeelden hiervan doen in de volgende video. En ik ga heel veel meer voorbeelden hiervan doen in de volgende video. Maar als je ergens de negatieve macht van neemt, dus 𝑎 tot de negatieve 𝑏-de macht is gelijk aan 1 gedeeld door 𝑎 tot de 𝑏-de macht. Dat is een ding dat we net hebben vastgelegd. En eerder in deze video zagen we dat als ik 𝑎 tot de 𝑏 gedeeld door 𝑎 tot de 𝑐 heb, dat gelijk is aan 𝑎 tot de 𝑏 min 𝑐. Dat is de andere eigenschap die we gebruikten. Door te gebruiken wat we net geleerd hebben en wat we leerden in de laatste video, laten we enkele meer gecompliceerde problemen doen. Zeg ik heb 𝑎 tot de derde, 𝑏 tot de vierde macht gedeeld door 𝑎 kwadraat keer 𝑏, en dat allemaal tot de derde macht. We kunnen nu de eigenschap gebruiken die we net hebben geleerd om de binnenkant te vereenvoudigen. We kunnen nu de eigenschap gebruiken die we net hebben geleerd om de binnenkant te vereenvoudigen. Dit wordt gelijk aan-- 𝑎 tot de derde gedeeld door 𝑎 kwadraat. Dat is 𝑎 tot de macht 3 min 2, toch? Dus dit wordt vereenvoudigd tot 𝑎. En je kan je voorstellen, dit is 𝑎 keer 𝑎 keer 𝑎 gedeeld door 𝑎 keer 𝑎. Je hebt enkel een 𝑎 aan de bovenkant. En dan de 𝑏, 𝑏 tot de vierde gedeeld door 𝑏, dat is gewoon 𝑏 tot de derde, toch? Dit is 𝑏 tot de eerste macht. 4 min 1 is 3, en dat alles tussen haakjes tot de derde macht. 4 min 1 is 3, en dat alles tussen haakjes tot de derde macht. We moeten niet deze derde macht hier vergeten. Deze derde macht is deze. De derde macht is degene hier, en dan deze 𝑎 in het oranje is deze 𝑎 hier. Ik denk dat we begrijpen wat slaat op wat. En nu kunnen we de eigenschap gebruiken dat wanneer we iets vermenigvuldigen en dat tot de derde macht verheffen, dit is gelijk aan 𝑎 tot de derde macht keer 𝑏 tot de derde, tot de derde macht. En dan wordt dit gelijk aan 𝑎 tot de derde macht En dan wordt dit gelijk aan 𝑎 tot de derde macht keer 𝑏 tot de macht 3 keer 3, keer 𝑏 tot de negende. En we hebben dit zoveel vereenvoudigd als maar mogelijk is. En we hebben dit zoveel vereenvoudigd als maar mogelijk is. Laten we er nog een doen. Ik denk dat het goed is om ze te oefenen en een waardevolle ervaring voor later. Zeg ik heb 25𝑥𝑦 tot de zesde gedeeld door 20𝑦 tot de vijfde keer 𝑥 kwadraat. Nogmaals, we kunnen de teller en de noemer herordenen. Nogmaals, we kunnen de teller en de noemer herordenen. Dit kan je schrijven als 25 gedeeld door 20 keer 𝑥 gedeeld door 𝑥 kwadraat. Dit kan je schrijven als 25 gedeeld door 20 keer 𝑥 gedeeld door 𝑥 kwadraat. We kunnen deze 20𝑥 kwadraat keer 𝑦 tot de vijfde-- de volgorde maakt niet uit-- keer 𝑦 tot de zesde gedeeld door 𝑦 tot de vijfde. Laten we onze pas geleerde exponent eigenschappen gebruiken in deze eenvoudige breuken. 25 gedeeld door 20, als je ze beide deelt door 5 is dit gelijk aan 5 gedeeld door 4. 𝑥 gedeeld door 𝑥 kwadraat-- er zijn twee manieren waarop je dit kan benaderen. Je kan het zien als 𝑥 tot de macht min 1. Je hebt een eerste macht hier. 1 min 2 is min 1. Dus dit hier is gelijk aan 𝑥 tot de macht min 1. Of het kan gelijk zijn aan 1 gedeeld door 𝑥. Deze zijn gelijk aan elkaar. Dus laten we zeggen dat dit gelijk is aan 1 gedeeld door 𝑥. Dus laten we zeggen dat dit gelijk is aan 1 gedeeld door 𝑥. En dit wordt 𝑥 gedeeld door 𝑥 keer 𝑥. Een van deze paren van 𝑥-en heffen elkaar op en je houdt 1 gedeeld door 𝑥 over. Uiteindelijk, 𝑦 tot de zesde gedeeld door 𝑦 tot de vijfde, dat is 𝑦 tot de macht 6 min 5, dat is 𝑦 tot de eerste, of gewoon 𝑦, dus keer 𝑦. Als je dit wil schrijven als een gecombineerde breuk, dan heb je 5 keer 1 keer 𝑦, dat wordt 5𝑦, en dat allemaal gedeeld door 4 keer 𝑥, toch? Dit is 𝑦 gedeeld door 1, dus 4 keer 𝑥 keer 1, en dat allemaal gedeeld door 4𝑥. En dan hebben we het succesvol vereenvoudigd.