Inleiding in de wetenschappelijke notatie

Het is geen geheim dat je in elke wetenschap veel getallen tegen komt. Of je nu biologie, scheikunde of natuurkunde doet, er zitten getallen bij. En vaak zijn die getallen heel groot. Het zijn heel grote getallen. Of ze zijn heel klein! Heel kleine getallen. Je kan een paar grote getallen bedenken. Als ik vraag, hoe veel atomen zitten er in het menselijk lichaam? Of hoe veel cellen? Of de massa van de Aarde in kilo's? Dat zijn heel grote getallen. Als ik vraag wat de massa van een elektron is... Dat zou een heel klein getal zijn. Je komt ze in alle soorten wetenschap tegen. Als voorbeeld laat ik je een van de meest gebruikte getallen zien, vooral in scheikunde. Het heet het getal van Avogadro. Het getal van Avogadro. Als ik het op de normale manier zou opschrijven, is het letterlijk... Even een nieuwe kleur. ...is het 6022 en dan 20 nullen. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. En zelfs wat komma's erbij schrijven maakt het niet echt leesbaarder. Ik zet er wat komma's bij. Het is nog steeds een gigantisch getal. Als je het opschrijft, of als ik een paper zou publiceren over het getal van Avogadro, duurt het eeuwig om op te schrijven. En sterker nog, misschien heb ik een nul vergeten of een nul te veel. Dus dat is een probleem. Is er een betere manier om dit op te schrijven? Is er een betere manier om dit op te schrijven dan het helemaal uit te schrijven. Dan letterlijk de 6 op te schrijven gevolgd door 23 cijfers of de 6022 gevolgd door 20 nullen. Een antwoord daarop... En mocht je nieuwsgierig zijn, het getal van Avogadro, Als je 12 gram koolstof-12 hebt is dit hoe veel atomen daarin zitten. 12 gram is een 50e van een Engelse pond. Dat geeft je een idee hoe veel atomen er altijd zijn. Dit is een enorm getal. Het punt daarvan is om scheikunde te leren. Het punt hiervan is om een makkelijkere manier te vinden om dit op te schrijven. De makkelijkere manier om dit op te schrijven heet "wetenschappelijke notatie." Wetenschappelijke notatie. Geloof me maar, hoe wel het wat onnatuurlijk lijkt, het is echt makkelijker om dingen zo op te schrijven. Voordat ik laat zien hoe het moet, laat ik eerst de theorie zien achter wetenschappelijke notatie. Als ik zeg, wat is 10 tot de 0e macht? Dat weten we, dat is 1. Wat is 10 tot de 1e macht? Dat is 10. Wat is 10 kwadraat? Dat is 10 keer 10, dus 100. Wat is 10 tot de 3e? 10 tot de 3e is 10 keer 10 keer 10, en dat is 1000. Ik denk dat je het patroon ziet. 10 tot de 0e heeft geen nullen. 10 tot de 1e heeft één nul. 10 tot de tand... Ik zeg het verkeerd. 10 tot de 2e macht heeft 2 nullen. Ten slotte, 10 tot de 3e heeft 3 nullen. Ik wil niet in herhaling vallen, maar je snapt het idee. 3 nullen. Als ik 10 tot de 100e neem, hoe ziet dat eruit? Ik wil het niet uitschrijven, maar het wordt 1 gevolgd door 100 nullen. Dus dat zijn een hoop nullen. Als je ze zou tellen, zijn het 100 nullen hier. Dit is misschien interessant, even terzijde. Misschien weet je hoe dit getal heet. Dit heet een googol. In de vroeg jaren '90, als iemand zegt dat is een googol dan dacht je niet aan een zoekmachine, maar aan 10 tot de 100e macht, wat een enorm getal is. Het is meer dan de geschatte hoeveelheid atomen in het waarneembaar heelal. Het is natuurlijk de vraag wat daar allemaal is, maar... Ik las het na, niet zo lang geleden en als ik het goed herinner heeft het waarneembaar heelal in de orde van 10 tot de 79e tot 10 tot de 81e atomen. Dat is natuurlijk een ruwe schatting. Niemand kan dat tellen. Mensen schatten maar wat, of beter nog, schatten het in. Maar dat is een enorm getal. Misschien nog interessanter is dat dit getal de oorsprong was van de naam van een populaire zoekmachine, Google. Google. Google is een verkeerde spelling van het woord googol, met O L. Ik weet niet waarom ze het Google noemden. Misschien hadden ze de domeinnaam. Misschien willen ze zo veel informatie hebben. Misschien zo veel bytes aan informatie, of het is gewoon een cool woord. Wat dan ook, misschien was het gewoon het lievelingsgetal van de stichter. Leuk om te weten, maar ik dwaal af. Dat is een googol, een 1 met 100 nullen. Maar ik had net zo goed 10 tot de 100e kunnen opschrijven. Dat is duidelijk een makkelijkere manier om dit op te schrijven. Dit is zo moeilijk op te schrijven dat ik er niet de moeite voor heb genomen. Dat zou eeuwig duren. Dit waren maar 20 nullen. Voor 100 zou ik het scherm hebben vol geschreven. Je zou het saai vinden, dus ik schreef het niet eens op. Dus dit is duidelijk makkelijker schrijven. Hoe schrijf je dan... Dit is alleen voor machten van 10. Hoe schrijf je iets op dat niet een macht van 10 is? Hoe gebruiken we deze versimpeling op een handige manier? Daarvoor hoef je je alleen iets te realiseren. Dit getal kunnen we opschrijven als... Hoe veel cijfers heeft dit? 1, 2, 3, en dan 20 nullen. Dus het heeft 23 cijfers na de 6. 23 cijfers na de 6. Wat gebeurt er als ik in de buurt probeer te komen met een macht van 10? Wat als ik zeg, 10 tot de 23e? Ik ga magenta gebruiken. 10 tot de 23e macht, wat is dat? Dat is 1 met 23 nullen. Dus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Je snapt het idee. Dat is 10 tot de 23e. Kunnen we nu deze opschrijven als een veelvoud van deze? Dat kan! Als je deze vermenigvuldigt met 6... Wat is 6... Wat krijg je als je 6 keer 10 tot de 23e neemt? We krijgen een 6 met 23 nullen. We krijgen een 6, en dan 23 nullen. Ik schrijf het op, 23 nullen zo. Ik nam alleen 6 keer dit. Je weet hoe je moet vermenigvuldigen. Je neemt 6 keer deze 1, dat wordt 6. En telkens 6 keer 0 wordt 0. Dus je hebt 6 met 23 nullen. Dat is nuttig. Maar we zijn nog niet helemaal bij dit getal. Dit had er wat tweeën bij. Hoe kunnen we dat beter doen? Wat als we een kommagetal opschrijven? Dit getal is identiek aan dit getal als die tweeën nullen waren. Wat kunnen we doen om die tweeën daar te houden? We kunnen wat getallen achter de komma opschrijven. We kunnen zeggen dat dit is 6,022 keer 10 tot de 23e. Dit getal is identiek aan deze, maar het is veel makkelijker op te schrijven. Je kan het controleren, als je wilt. Het zal veel tijd kosten. Probeer het eerst met een kleiner getal. Als je 6,022 vermenigvuldigt met 10 tot de 23e en je het uitschrijft, krijg je dat getal daar. Krijg je het getal van Avogadro. Dit is wat ingewikkeld en ziet er tegenintuïtief uit. Dit was gewoon een uitgeschreven getal. Dit heeft een vermenigvuldiging en een 10 tot een macht. Je zou zeggen dat het niet simpel is, maar dat is het wel Want je weet meteen hoe veel nullen er zijn en het is een veel kortere manier om dit getal op te schrijven. Laten we er nog een paar doen. Ik begon met het getal van Avogadro omdat het laat zien waarom wetenschappelijke notatie nodig is. Zodat je dat soort dingen niet telkens op hoeft te schrijven. Laten we een paar andere getallen opschrijven in wetenschappelijke notatie. Stel ik heb het getal 7.345 en ik wil het opschrijven in wetenschappelijke notatie. De beste manier om het te zien is... Het is 7 duizend en 345. Hoe representeer je een duizendtal? Ik schreef het hier. 10 tot de 3e is 1.000. Dus we weten dat 10 tot de 3e gelijk is aan 1.000. Dat is de grootste macht van 10 die hier in past. Dit is 7 duizend. Dit is 7 duizend en dat is 0,3 duizend en dit is 0,04 duizend. Ik weet niet of dat helpt. Dit kunnen we opschrijven als 7,345 keer 10 tot de 3e. Dit wordt 7 duizend plus 0,3 duizend... Wat is 0,3 keer 1.000? 0,3 keer 1.000 is 300. Wat is 0,04 keer 1.000? Dat is 40. Wat is 0,005 keer 1.000? Dat is 5. Dus 7,345 keer 1.000 is 7.345. Laat me het uitvermenigvuldigen om het duidelijk te maken. Ik neem 7,345 keer 1.000. Ik negeer gewoon de nullen en vermenigvuldig 1 keer dat daarboven. Dus ik heb 7.345. Ik had drie nullen, dus die zet ik aan het eind. En ik had drie getallen achter de komma. 1, 2, 3. Dus 1, 2, 3, ik zet de komma daar. 7,345 keer 1.000 is inderdaad 7.345. Laten we nog een paar doen. Wat als we het getal 6 in wetenschappelijke notatie schrijven? Het is niet echt nodig om die in wetenschappelijke notatie te schrijven, maar hoe gaat dat? Wat is de grootste macht van 10 die in 6 past? De grootste macht van 10 die in 6 past is 1. Dus we schrijven het als iets keer 10 tot de 0e. Dit is gewoon 1. Dus 6 is wat keer 1? Gewoon 6. Dus 6 is 6 keer 10 tot de 0e. Je hoeft het niet zo op te schrijven. Dit is veel simpeler. Maar het laat zien dat je elk getal in wetenschappelijke notatie kan opschrijven. Wat nu als we iets als dit willen opschrijven? Ik zei in het begin dat we in wetenschap met heel grote en heel kleine getallen omgaan. Stel je hebt het getal... Gebruik deze kleur. Stel je hebt een komma en 1, 2, 3, 4, 5 nullen gevolgd door een 7. Dit is niet een makkelijk getal om mee om te gaan. Hoe kunnen we er mee om gaan als macht van 10? Wat is de grootste macht van 10 dat hier in past? Waar dit getal door deelbaar is? Eens denken. Elke macht van 10 hiervoor waren positieve machten van 10. Je kan ook negatieve machten van 10 hebben. 10 tot de 0e is 1. Laten we daar beginnen. 10 tot de -1e is 1 gedeeld door 10, wat hetzelfde is als 0,1. Even een andere kleur. Roze! 10 tot de -2e is 1 gedeeld door 10 kwadraat en dat is 1 gedeeld door 100 en dat is 0,01. Ik denk dat je het snapt, dat... Ik doe er nog wel een zodat je het snapt. 10 tot de -3e is gelijk aan 1 gedeeld door 10 tot de 3e, dus 1 gedeeld door 1000, en dat is 0,001. Dus het patroon is dat 10 tot een negatieve macht bepaalt hoe veel cijfers je achter de komma krijgt. Dit is niet de hoeveelheid nullen! In het geval van 10 tot de -3e heb je maar 2 nullen. Er zijn 3 cijfers achter de komma. Dus wat is de grootste macht van 10 die hier in past? Hoe veel cijfers achter de komma heb ik? Ik heb 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dus 10 tot de -6e wordt... Een komma, en dan 6 cijfers achter de komma. Het laatste cijfer wordt een 1. Dus je hebt 5 nullen en een 1. Dat is 10 tot de -6e. Dit getal hier is 7 keer dit getal. Als je dit met 7 vermenigvuldigt krijg je 7 keer 1 en dan 1, 2, 3, 4, 5, 6 cijfers achter de komma. Dus 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dus dit getal keer 7 is hetzelfde als waar we mee begonnen. We kunnen dit herschrijven... In plaats van dit telkens op te schrijven, kunnen we het zo opschrijven... Of we schrijven een 7... Dit is 7 keer dit getal. Dit getal is net zo slecht als dat getal maar dit getal is 10 tot de -6e! 7 keer 10 tot de -6e. Nu kan je je voorstellen, een getal als... Wat als we een 7 hadden... Ik probeer het zo. Wat als we een 7 hadden... We hebben 73 daar. Wat zouden we doen? We willen naar het eerste cijfer hiervan want dit is de grootste macht van 10 die er in past. Dus als we dat willen opschrijven... Laat ik een ander kommagetal opschrijven die er op lijkt. Dus ik heb 0,0000516 en ik wil dit in wetenschappelijke notatie opschrijven. Ik ga naar het eerste cijfer dat niet 0 is. Dat is daar. Wat is de grootste macht van 10 die daar in past? Ik doe 1, 2, 3, 4, 5. Dus het wordt 5,16... Dus ik neem 5 en de rest komt achter de komma. ...keer 10... Dus dit wordt de grootste macht van 10 die in het eerste niet-0 cijfer past. Dat wordt 1, 2, 3, 4, 5, dus 10 tot de -5e macht. Ik zal nog een voorbeeld doen. Het punt is, je gaat naar het eerste niet-0 getal van links. Daar krijg je de macht van. Daar kreeg ik de 10 tot de -5e van. Ik telde 1, 2, 3, 4, 5. Dat moet je tellen, zoals we hier deden. De rest komt achter de komma. Ik zal nog een voorbeeld doen. Ik heb een komma... Mijn vrouw zegt altijd dat ik een 0 voor mijn komma's moet schrijven want ze is een dokter en als mensen de komma niet zien geven ze misschien een overdosis. Laten we het op haar manier schrijven. 0,0000000008192. Dit is duidelijk een onhandig getal om te schrijven en misschien vergeet je een 0 of schrijf je een 0 te veel. Dat kan vervelend zijn als je wetenschappelijk onderzoek doet of... nou, je zou medicijnen niet in zulke kleine hoeveelheden geven. Misschien wel, ik ga er niet verder op in. Hoe schrijf ik dit in wetenschappelijke notatie? Ik begin met het eerste niet-0 cijfer van links. Dat wordt 8,192... Ik schrijf een komma, dus komma 192. ...keer 10 tot welke macht? Dat tel ik gewoon. Keer 10 tot de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Dat cijfer moet ik meetellen. 10 tot de -10e. Ik denk dat je het eens bent dat dit getal makkelijker op te schrijven is dan die. Welnu... En dit is nog iets handigs aan wetenschappelijke notatie... Stel dat ik deze twee getallen met elkaar wil vermenigvuldigen. Ik wil het getal 0,005 vermenigvuldigen met 0,0008. Dit is eigenlijk best een makkelijke om zo te doen, maar soms wordt het best onhandig, zeker als je 20 of 30 nullen hebt aan een van de zijden van de komma. Ik zet hier een 0 om mijn vrouw blij te maken. Door wetenschappelijke notatie wordt het eenvoudiger. Dit wordt herschreven als 5 keer 10 tot welke macht? Ik heb 1, 2, 3 getallen achter de komma, dus 10 tot de 3e. En dit is 8, en dan keer... 8 keer 10 tot de... Sorry, dit is 5 keer 10 tot de -3e. Dat is belangrijk. 5 keer 10 tot de 3e zou 5.000 zijn. Daar moet je voorzichtig mee zijn. Waar is dit getal gelijk aan? Dat is 1, 2, 3, 4 cijfers achter de komma, dus dat is 8 keer 10 tot de -4e. Als je deze getallen met elkaar vermenigvuldigt krijg je 5 keer 10 tot de -3e keer 8 keer 10 tot de -4e. Er is niets bijzonders aan wetenschappelijke notatie. Het betekent letterlijk wat er staat. Als we vermenigvuldigen kan je het zo opschrijven. Bij vermenigvuldigen maakt volgorde niet uit, Dus ik kan dit herschrijven als 5 keer 8 keer 10 tot de -3e keer 10 tot de -4e. En wat is 5 keer 8? 5 keer 8, weten we, is 40. Dus 40 keer 10 tot de -3e keer 10 tot de -4e. En volgens de machtsverheffingsregels, als de grondtallen hetzelfde zijn, mag je de exponenten bij elkaar optellen. Dus we tellen de -3 en de -4 bij elkaar op. Dus dat wordt 40 keer 10 tot de -7e. Laten we nog een voorbeeld doen. Stel we vermenigvuldigen het getal van Avogadro... Dat was 6,022 keer 10 tot de 23e. Stel we vermenigvuldigen dat met een heel klein getal. Dus keer, bijvoorbeeld, 7,23 keer 10 tot de -22e. Dus dat is een heel klein getal. Dus je krijgt een komma, dan 21 nullen, een 7, een 2 en een 3. Dus dat is een erg klein getal. Maar de vermenigvuldiging is in wetenschappelijke notatie best simpel. Dit wordt 6,0... Even goed opschrijven. ...6,022 keer 10 tot de 23e keer 7,23 keer 10 tot de -22e. We kunnen de volgorde veranderen. Dus dat is 6,022 keer 7,23... Dat is dit stuk, dus dat wordt het eerste deel van de wetenschappelijke notatie. ...keer 10 tot de 23e keer 10 tot de -22e. Voor dit stuk ga je wat kommagetallen moeten vermenigvuldigen. Dit wordt een of ander getal, iets in de 40 denk ik. Dat kan ik niet uit het hoofd. Maar dit stuk is makkelijk uit te rekenen. Dit zal ik zo laten. Maar voor dit stuk doe ik keer... 10 tot de 23e keer 10 tot de -22e, je telt gewoon de exponenten op. Je krijgt keer 10 tot de 1e macht. Keer 10 dus. En dit getal, wat het ook wordt... Ik zal het zo laten omdat ik geen rekenmachine heb. ...komma 23. Eens zien. 7,2... 0,2 keer... Dat is een vijfde of zo. Dat wordt 41 en een beetje. Dus dat is ongeveer 41 keer 10 tot de 1e. In andere woorden, ongeveer 410. Om het goed te doen zou je deze vermenigvuldiging moeten doen. Hopelijk zie je dat wetenschappelijke notatie in de eerste plaats heel nuttig is voor supergrote en superkleine getallen. En het is niet alleen nuttig om die getallen te begrijpen en op te schrijven, maar het maakt het ook makkelijker ermee te werken.