Hoofdmenu
Huidige tijd:0:00Totale duur:8:13

Videotranscript

In deze video wil ik praten over wat een priemgetal is En hopelijk zul je in deze video dit best simpele concept zien, maar terwijl je vooruitgang boekt in je wiskundige kennis, zul je zien dat er eigenlijk ook wat moeilijkere concepten kunnen toegevoegd worden die bouwen op het idee van een priemgetal. Daaronder valt het idee van cryptografie en misschien gebruikt jouw computer ook een systeem van encryptie dat gebaseerd is op priemgetallen. Als je niet weet wat encryptie betekent, hoef je je daar geen zorgen nu over te maken, je moet gewoon onthouden dat priemgetallen best belangrijk zijn. Dus ik zal je de definitie geven en deze definitie kan best wat verwarrend zijn, maar we zullen voorbeelden zien en dan zou het duidelijk moeten worden. Een getal is een priemgetal als het een natuurlijk getal is, bijvoorbeeld 1, 2 of 3 (dus het opsommen van getallen vanaf 1) of je zou ook kunnen zeggen: 'de positieve gehele getallen' Het is een natuurlijk getal dat deelbaar is door exact twee natuurlijke getallen: één en zichzelf. Dat zijn de twee getallen waardoor het deelbaar is. Als dit nog niet veel duidelijk maakt, zal ik enkele voorbeelden geven. Laten we van enkele getallen bepalen of ze een priemgetal zijn of niet. Laten we starten met de kleinste natuurlijke getallen. Het getal 1. Dus je kunt zeggen dat 1 deelbaar is door 1 en 1 ook deelbaar is door zichzelf. 1 is een priemgetal! Maar denk terug aan een deel van de definitie, dat een priemgetal deelbaar moet zijn door EXACT twee natuurlijke getallen. 1 is enkel door één natuurlijk getal deelbaar, namelijk 1! Dus hoewel het tegen de intuïtie in kan druisen, is 1 geen priemgetal. Laten we eens kijken naar het getal 2. 2 is deelbaar door 1 en door 2, maar niet door een ander natuurlijk getal. Het getal 2 lijkt dus aan onze beperkingen te voldoen. Het is deelbaar door exact twee natuurlijke getallen, namelijk zichzelf en 1. Het getal 2 is inderdaad een priemgetal. Ik zal de getallen die een priemgetal zijn omcirkelen. Het getal twee is interessant, want het is het enige even getal dat een priemgetal is. Als je er over nadenkt, zal elk ander even getal immers ook deelbaar zijn door 2 en dus geen priemgetal meer zijn. We zullen daarover nog verder nadenken in latere video's. Laten we het getal 3 beschouwen. 3 is duidelijk deelbaar door 1 en door zichzelf, en het is niet deelbaar door een getal daarintussen. Het is niet deelbaar door 2, dus het is ook een priemgetal. Laten we 4 proberen. 4 is deelbaar door 1 en door 4, maar het is ook deelbaar door 2. Het is dus deelbaar door drie natuurlijke getallen: 1, 2 en 4. Het getal 4 voldoet dus niet aan onze vereisten om een priemgetal te zijn. Laten we het getal 5 proberen. 5 is deelbaar door 1, het is niet deelbaar door 2, 3 of 4. Je zou 5 natuurlijk wel kunnen delen door 4, maar je zou een restwaarde overhouden. En het is exact deelbaar door 5, natuurlijk. Dus nogmaals, 5 is deelbaar door exact twee natuurlijke getallen: 1 en 5. 5 is dus ook een priemgetal. Laten we verder gaan, zodat we kunnen nagaan of er een soort patroon bestaat en dan kan ik misschien een zeer moeilijk getal proberen. Laten we nummer 6 bekijken. Het is deelbaar door 1, 2, 3 en 6. Het heeft dus vier natuurlijke factoren, ik denk dat je het zo zou kunnen stellen. Het heeft dus niet exact vier getallen waardoor het deelbaar is, het heeft er vier en is daardoor geen priemgetal. Laten we nu eens kijken naar het getal 7. 7 is deelbaar door 1, maar niet door 2, 3, 4, 5 of 6, maar het is ook deelbaar door 7. Dus 7 is een priemgetal. Ik denk dat je nu het algemene idee wel snapt. Hoeveel natuurlijke getallen, dus getallen zoals 1, 2, 3, 4, 5, dat zijn de getallen die je leert wanneer je 2 jaar oud bent, exclusief nul, exclusief negatieve getallen, exclusief breuken en irrationale getallen, en decimale getallen enz. enkel de normale positieve 'tel'-getallen. Als je er slechts twee van hebt, dus slechts deelbaar bent door jezelf en door 1, dan ben je een priemgetal. En hoe ik er over denk, als we het speciale geval 1 buiten beschouwing laten, dan zijn priemgetallen een soort van bouwstenen van getallen. Je kunt ze niet meer breken. Ze zijn bijna zoals de atomen. Als je nadenkt over wat de atoom is, of over wat mensen dachten dat atomen waren... Ze dachten dat atomen die dingen waren die je niet meer verder kon opdelen. We weten nu dat we atomen nog verder kunnen opdelen en eigenlijk kun je een nucleaire explosie doen ontstaan als je ze verder opdeelt. Maar dezelfde gedachtengang schuilt achter priemgetallen. Je kunt ze niet verder opdelen in producten van kleinere natuurlijke getallen. Van getallen als 6 kun je zeggen, hé, dat is 2 maal 3, je kunt het dus nog opsplitsen en merk op, we kunnen het opsplitsen als een product van priemgetallen. We hebben het dus infeite opgesplitst in zijn delen. 7 kan je niet meer opsplitsen. Je kunt enkel zeggen dat 7 gelijk is aan 1 maal 7. En in dat geval heb je het niet echt ver opgesplitst. Je hebt simpelweg de 7 terug. 6 kun je wel nog opbreken. Ook 4 kun je opdelen: 2 maal 2. Dat terzijde, laten we eens gaan denken over enkele grotere getallen en nadenken of deze getallen priemgetallen zijn. Laten we 16 proberen. Het is duidelijk dat elk natuurlijk getal deelbaar is door 1 en zichzelf. Dus 16 is deelbaar door 1 en 16. Je start dus met twee, dus als je nog een ander getal kunt vinden dat een deler is, dan is het geen priemgetal. En voor 16 kun je zeggen dat het 2 maal 8 is, of 4 maal 4, dus het heeft veel factoren hier, gelegen tussen 1 en 16. 16 is dus geen priemgetal. En 17? 1 en 17 zijn delers van 17, 2 niet, 3 ook niet, 4, 5, 6, 7, 8 ... Geen enkel getal tussen 1 en 17 is een deler van 17, dus 17 is een priemgetal. En nu zal ik een moeilijk voorbeeld geven. Deze doet veel mensen in de val lopen. Denk eventjes na over 51. Als je geïnteresseerd bent, kun je hier de video eventjes pauzeren en voor jezelf proberen na te denken of 51 een priemgetal is. Zoek of je een getal kunt vinden tussen 1 en 51 dat een deler is van 51. Het lijkt er op... Dit is een vreemd getal. Je zou haast gaan denken dat het een priemgetal is, maar nu zal ik je het antwoord geven. Het is geen priemgetal, want het is ook deelbaar door 3 en 17. 3 maal 17 is 51. Ik hoop dat dit je een goed beeld geeft over wat priemgetallen precies zijn en hopelijk kunnen we jou wat oefening daarop geven in toekomstige video's en misschien in sommige van onze oefeningen.