Inleiding in rationale & irrationale getallen

Laten we het hebben over rationale getallen. Laten we het hebben over rationale getallen. En de eenvoudigste manier om daarover te denken is dat elk getal dat kan worden weergegeven als de verhouding van twee hele getallen is een rationaal getal. Bijvoorbeeld, elk heel getal is een rationaal getal. 1 kan worden weergegeven als 1/1 of als -2/-2 of als 10.000/10.000 In al deze gevallen zijn er verschillende representaties van het getal 1, de ratio van twee hele getallen. Uiteraard heb ik een oneindig aantal van representaties van 1 op deze manier. Hetzelfde getal gedeeld door hetzelfde getal. Het getal -7 kan worden weergegeven als -7/1, of 7/-1, of -14/2. Ik kan zo blijven doorgaan. Dus -7 is zeker een rationaal getal. Het kan worden gerepresenteerd als de ratio van twee hele getallen. Maar hoe zit het met dingen die geen hele getallen zijn? Neem bijvoorbeeld 3,75. Hoe kunnen we dat weergeven als de ratio van twee hele getallen? Nou, 3,75 kunnen we omschrijven als 375/100, wat hetzelfde is als 750/200. Of ik kan zeggen, 3,75 is hetzelfde als 3 en 3/4 wat hetzelfde is als 15/4. 4 keer 3 is 12, plus 3 is 15. Dit is hetzelfde als 15/4. Of we kunnen dit schrijven als -30/-8. Ik heb alleen maar de teller en de noemer met -2 vermenigvuldigd. Voor de duidelijkheid, dit is rationaal. Ik heb je meerdere voorbeelden gegeven hoe dit kan worden weergegeven als de ratio van twee hele getallen. En hoe zit het met repeterende decimalen? Laten we het meest beroemde geval nemen van repeterende decimalen. Zeg je hebt 0,333... dat voor altijd doorgaat, wat we kunnen aangeven door een klein streepje aan de bovenkant van de 3. Dit is 0,3 repeterend. We zullen later zien hoe je een repeterende decimaal kan omzetten naar de ratio van twee hele getallen-- dit is natuurlijk 1/3. Misschien heb je iets gezien als 0,6 repeterend, dat is 2/3. En er zijn vele, vele, vele andere voorbeeld hiervan. We zullen zien dat elk repeterende decimaal-- niet alleen één repeterend cijfer. Zelfs als het een miljoen repeterende cijfers heeft, zolang het patroon zichzelf maar begint te herhalen elke keer maar weer, kan je het altijd weergeven als de ratio van twee hele getallen. En ik weet wat je waarschijnlijk denkt. Hey, Sal, je hebt wel heel veel inbegrepen. Je hebt alle hele getallen inbegrepen. Je hebt alle eindige niet-repeterende decimalen inbegrepen, en je hebt ook alle repeterende decimalen inbegrepen. Is er nog iets over? Zijn er getallen die niet rationaal zijn? En je hebt waarschijnlijk al geraden dat die er zijn, anders zouden mensen niet de moeite nemen om deze dingen als rationaal te labelen. En het blijkt dat sommige van de meest bekende getallen in de wiskunde niet rationaal zijn. En we noemen ze irrationale getallen. Irrationale getallen. En ik heb een lijst met enkele van de meest noemenswaardige voorbeelden. Pi-- de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel-- is een irrationaal getal. Het stopt nooit. Het gaat voor altijd door en door, en het repeteert nooit. e, hetzelfde-- stopt nooit, repeteert nooit. Het komt voort uit doorwerking van samengestelde rente. Het komt voort uit complexe analyse. e verschijnt overal. Wortel 2, irrationaal getal. Phi, de gulden snede, irrationaal getal. Deze dingen die spontaan opdoemen uit de natuur, meerdere van deze getallen zijn irrationaal. Nu kan je zeggen, "OK, zijn deze irrationaal? "Dit zijn gewoon een speciaal soort getallen. "Maar misschien zijn de meeste getallen rationaal, "en heeft Sal gewoon een paar bijzondere gevallen uitgekozen." Maar het is belangrijk om te realiseren dat ze er exotisch uit zien, en ze zijn ook exotisch op hun manier. Maar ze zijn niet ongewoon. Het blijkt dat er altijd een irrationeel getal bestaat tussen elke twee rationale getallen. Er is eigenlijk een oneindig aantal. Maar er is er tenminste één, dus dat geeft je een indruk dat je niet kan zeggen dat er minder irrationale getallen zijn dan rationale getallen. In een toekomstige video bewijzen we dat als je me twee rationale getallen geeft-- rationaal 1, rationeel 2-- er is tenminste één irrationaal getal tussen deze twee, wat een knap resultaat is, want irrationele getallen schijnen exotisch te zijn. Op een andere manier-- Ik nam de wortel van 2, maar als je de wortel neemt van elk imperfect vierkant, dan hou je een irrationaal getal over. Als je de som neemt van een irrationaal getal en een rationaal getal-- en dat zullen we later zien. We zullen het onszelf gaan bewijzen. De som van een irrationaal en een rationaal is een irrationaal. Het product van een irrationaal en een rationaal is een irrationaal. Dus er zijn vele, vele, vele irrationale getallen in het wild.