Bewijs: een straal staat loodrecht op een koorde die hij in het midden snijdt

In de laatste video hebben we geleerd dat als we twee verschillende driehoeken hebben en dat als alle corresponderende zijdes van de twee driehoeken dezelfde lengte bevatten dan bij de zijde zijde zijde weten we dat de twee driehoeken congruent zijn. En ik heb ook al gepraat over het idee van een grondstelling of een veronderstelling maar ik wil duidelijk maken: soms word er verwezen naar een zijde zijde zijde stelling - stelling en soms klinkt het als een zijde zijde zijde stelling of grondsteling - veronderstelling of grondstelling. En ik denk dat het nodig is om uitleg te geven over de betekenis van deze begrippen. Een veronderstelling of een grondstelling is iets dat je van zelf aanneemt, je neemt het aan vanaf het begin, terwijl een stelling iets is dat je probeert te bewijzen door de basis grondbeginselen of door een paar grondstellingen of veronderstellingen. Dus en eigenlijk gebruik je in de wiskunde kern aannames Je maakt aannames vanuit de kern. Je noemt deze Je noemt deze grondstellingen of veronderstellingen Axioma's of Postulaten En door hen te gebruiken, probeer je stellingen te bewijzen. Dus misschien kan ik met deze stelling een andere stelling bewijzen. En dan zullen ze deze stelling gaan gebruiken. En dan deze grondstelling daarmee kan ik deze stelling bewijzen. En dan gebruik ik twee van deze stellingen. Om weer een andere stelling te bewijzen. Ik denk dat je het wel begrijpt. Deze grondstelling zou ons kunnen leiden tot deze stelling En deze zouden ons mogelijk kunnen leiden tot deze stelling hier. En in essentie proberen we onze kennis op te bouwen Of we bouwen voort aan de wiskunde middels deze kernaannames. In een introductie van geometrie gaan we niet rigoreus de zijde zijde zijde bewijzen gaan we niet rigoreus de zijde zijde zijde stelling bewijzen En daarom zul je bij geometrie het vanzelf aannemen als een grondstelling of een veronderstelling En de reden waarom ik dit doe is omdat ik je wil uitleggen wat het verschil is tussen deze twee begrippen stelling en veronderstelling of grondstelling en ook om je niet in de war te laten raken. Het is gewoon een gegeven maar in veel boeken en ik heb veel verschillende boeken ingezien verwijzen ze naar een zijde zijde zijde stelling ook al hebben ze dit nooit compleet vastgesteld Ze nemen het gewoon aan. Dus het is eigenlijk meer een veronderstelling of een grondstelling. Nu we dat hebben behandeld, gaan we gewoon aannemen en verder met dat wat we al weten dat dit waar is, we gaan het als iets normaals beschouwen Ik wil je laten zien dat we al iets waardevols ermee kunnen doen. Laten we eens zeggen, we hebben een cirkel. Laten we eens zeggen, we hebben een cirkel. Er zijn vele waardevolle dingen aanwezig waar we al iets mee kunnen doen. Deze cirkel heeft een centrum hier bij A en laten we zeggen dat we een koorde hebben een koorde in deze cirkel, dat is niet de diameter. Dus laat ik een koorde tekenen Dus laat ik een koorde tekenen in deze cirkel, dus dit lijkt op een segment van een snijlijn, en laten we zeggen dat ik laten we zeggen dat ik een lijn heb dat bijsnijd, dat snijd deze koorde van het centrum En ik denk dat ik het een straal kan noemen, want ik ga van het centrum naar het einde van de cirkel hier. Dus ik ga van het centrum naar de cirkel zelf. En als ik zeg bijsnijden, dan zijn dit Ik ben nu de opgave aan het opbouwen Als ik zeg bijsnijden dan betekent dat het de lijnsegment door de helft verdeelt. Dus wat het ons vertelt, is dat de lengte van deze segment hier gelijk zal zijn aan de lengte van deze segment hier. En wat ik wil gaan doen is, dus dit is een cirkel Deze straal snijd deze koorde bij aan deze kant hier. En wat ik wil gaan bewijzen, het doel is om te bewijzen, om te bewijzen dat het deze koorde bijsnijde tot een rechte hoek. Of een andere manier om het te stellen, laat ik hier wat punten toevoegen Laten we dit B noemen, dit C en dit D. Ik wil bewijzen dat segment AB, segment AB is loodrecht Het snijd elkaar tot een rechte hoek, het is een loodrechte lijn op segment CD, naar segment CD. En zoals je je wel kunt voorstelling, ik ga het bewijzen door deze zijde zijde zijde of hoe je het ook wilt noemen zijde zijde zijde stelling, veronderstelling of grondstelling. Dus laten we dat doen, laten we nadenken op deze manier. Je kunt je wel voorstellen als ik dit ga gebruiken dan heb ik driehoeken nodig, er zijn hier nu geen driehoeken maar ik kan ze wel maken en ik kan driehoeken maken op basis van wat ik al weet. Als voorbeeld, ik kan ze bouwen, dit heeft een straal Dus laten we zeggen, dat is een straal, de lengte daarvan is de straal van een cirkel, maar ik kan het ook hier doen, de lengte van AC word ook de straal van een cirkel. Dus we weten dat deze twee lijnen dezelfde lengte hebben wat de straal is van een cirkel, wat de straal is van een cirkel of we kunnen zeggen dat AD congruent is aan AC of ze hebben de exacte lengte. We weten bij voorbaat we weten bij voorbaat dat dit segment is gelijk aan de lengte naar dit segment hier. We kunnen zelfs laat ik hier wat punten toevoegen zodat ik ernaar kan verwijzen Dus als ik dat punt E noem dan weten bij voorbaat dat CE congruent is aan ED of ze hebben dezelfde lengte CE heeft dezelfde lengte als ED. En we weten ook dat beide van deze driehoeken de linker hier en de rechter daar, de rechter daar delen dezelfde zijde EA dus EA is overduidelijk gelijk aan EA Dus dit is gelijk aanzichzelf, het heeft dezelfde zijde. Dezelfde zijde is gebruikt voor beide driehoeken. De driehoeken liggen gelijk naast en aan elkaar. En dus hebben we een situatie waar we twee verschillende driehoeken hebben dat een corresponderende zijde heeft dat gelijk is. Deze zijde is gelijk aan de zijde hier. Deze zijde is gelijk in de lengte aan de zijde hier. En dan hebben we AE is gelijk aan zichzelf Het is een zijde dat ligt op beide. Het is een corresponderende zijde op beide van deze driehoeken. En dus bij zijde zijde zijde, dus bij zijde zijde zijde We weten, we weten dat driehoek, driehoek ABC driehoek ABC is congruent aan driehoek AE Oh sorry, het is niet ABC, het is AEC, sorry. We weten, ik zal het hier opschrijven bij de zijde zijde zijde weten we, we weten dat driehoek AEC, AEC is congruent aan driehoek AED. Maar hoe helpt dat ons, Hoe helpt dat ons wetend dat we nu onze stelling gaan gebruiken maar hoe helpt dat ons hier? Nou wat leuk is, dat we weten dat als twee driehoeken congruent zijn dus omdat, omdat ze congruent zijn dat vertelt het ons Dus daarvan uit kunnen we afleiden en we kunnen dat voornamelijk afleiden vanuit deze hoek hier dat de maat van hoek CEA, CEA is gelijk aan de maat van DEA, DEA, de maat van hoek DEA. En de reden waarom dat handig is, waarom dat behulpzaam is is dat we ook kunnen weten door er alleen maar naar te kijken dat ze aanvullend zijn aan elkaar. Het zijn hoeken die aan elkaar grenzen, hun uiterste zijde vormen een rechthoekige hoek. Dus CEA is aanvullend en gelijk aan DEA. Dus ze zijn ook aanvullend. Dus we hebben ook de maat van hoek CEA, de maat van hoek CEA plus de maat van hoek DEA is gelijk aan 180 graden Maar ze zijn gelijk aan elkaar dus ik kan ook de maat DEA vervangen met de maat CEA, vervangen met de maat van CEA Of ik kan het zo opschrijven, twee keer de maat van hoek CEA is gelijk aan 180 graden 2 × CEA = 180 graden Of ik kan twee zijde delen door twee en ik zeg de maat van hoek CEA = 90 graden wat hetzelfde zal zijn aan de maat van hoek DEA, omdat ze gelijk zijn Dus we weten dat deze hoek hier 90 graden is Dus ik kan het lijmen met deze kleine doos en deze hoek is hier 90 graden en omdat AB kruist waar CD kruist hebben we een 90 graden hoek hier en daar en we kunnen dit ook voor hier bewijzen ze staan loodrecht op elkaar.