Bewijs over bijzondere rechthoekige driehoeken (deel 1)

In deze video wil ik een bijzonder type driehoeken bespreken: De '30-60-90 driehoeken'. Je begrijpt denk ik wel waarom ze zo heten. De hoeken ervan zijn 30 graden, 60 graden en 90 graden. Wat we gaan we bewijzen komt vaak goed van pas bij geometrie en later bij goniometrie: We gaan bewijzen wat de verhoudingen van de zijden van '30-60-90 driehoeken' zijn. Als de hypothenusa lengte x heeft, (de hypothenusa is de zijde... tegenover de hoek van 90 graden) ... als de hypothenusa lengte x heeft, dan heeft de kortste zijde, die tegenover de hoek van 30 graden ligt, lengte x/2, en de zijde tegenover de hoek van 60 graden een lengte van wortel 3 keer de korte zijde: wortel 3 keer x/2 Dat gaan we hier bewijzen en in andere video's toepassen. Je zult zien dat dit heel bruikbaar is. Laten we beginnen met het tekenen van een gelijkzijdige driehoek. Die kennen we allemaal wel. (Een driehoek tekenen vind ik altijd het lastigst) Dit is mijn beste poging. Laten we de hoeken A, B en C noemen. Ik neem nu gewoon aan dat driehoek ABC een gelijkzijdige driehoek. 'Gelijkzijdig' betekent dat alle zijden even lang zijn, laten we zeggen: lengte x. Dus deze zijde is x, deze ook en deze ook. Ook weten we bij gelijkzijdige driehoeken, dat de hoeken alledrie 60 graden zijn. Deze hoek is 60 graden, en deze twee ook. Nu ga ik een loodlijn tekenen vanuit de bovenste hoek. Een loodlijn snijdt per definitie de overliggende zijde onder een hoek van 90 graden. Dus dit is een rechte hoek en dit is ook een rechte hoek. Nu kun je vrij gemakkelijk aantonen dat de loodlijn niet alleen een rechte hoek met de basis maakt maar ook dat de loodlijn de basis in twee gelijke delen verdeelt. Je kunt even op pauze drukken en het zelf bewijzen door aan te tonen dat deze driehoeken congruent zijn. Ik zal het nu bewijzen. Laten we dit snijpunt D noemen. Driehoeken ABD en BDC hebben allebei deze zijde, BD. En deze hoek is congruent met deze hoek. En deze hoek is congruent met deze hoek. Als deze zijden en hoeken congruent zijn, dan moet de derde hoek ook congruent zijn: Deze hoek is congruent met deze hoek. We kunnen op verschillende manieren de congruentie aantonen van deze twee driehoeken. Via de congruentie van: zijde, hoek, zijde of, de congruentie van: hoek, zijde, hoek. We kunnen op beide manieren aantonen dat driehoeken ABD en CBD congruent zijn. We kunnen hoek, zijde, hoek gebruiken, of zijde, hoek, zijde. Het maakt niet uit. Het zegt alleen maar dat de overeenkomstige zijden gelijk zullen zijn. Vooral belangrijk voor ons is dat zijde AD gelijk is aan zijde CD. Die zijden zijn dus even lang. En omdat we ook weten dat ze samen lengte x hebben, (weet je nog: de zijde van... ) (deze gelijkzijdige driehoek is x) weten we, dat de zijden de helft zijn: dus x/2. Wat we ook nog weten, omdat we een loodlijn trokken, is dat deze hoek congruent is aan deze en dat ze opgeteld 60 graden zijn. Dus twee gelijke hoeken, samen 60 graden: betekent dat deze 30 graden is en deze ook 30 graden. We hebben dus al iets interessants ontdekt over '30-60-90 driehoeken': (ik had het nog niet eerder gezegd) Door een loodlijn te tekenen heb ik deze gelijkzijdige driehoek verdeeld in twee '30-60-90 driehoeken'. We hebben al laten zien dat als de hypothenusa lengte x heeft, dat de zijde tegenover de hoek van 30 graden lengte x/2 heeft. Nu hoeven we alleen nog de zijde tegenover de hoek van 60 graden te vinden. Deze zijde heet BD. Hiervoor gebruiken we gewoon de stelling van Pythagoras: BD kwadraat + deze zijde in het kwadraat.. BD kwadraat + (x/2)kwadraat = de hypothenusa in het kwadraat. BD kwadraat + (x/2)kwadraat = x kwadraat (dit is gewoon de stelling van Pythagoras) BD kwadraat + (x/2)kwadraat = x kwadraat Voor de duidelijkheid, ik kijk nu naar deze driehoek. en pas de stelling van Pythagoras toe. Deze zijde in het kwadraat + deze zijde in het kwadraat = de hypothenusa in het kwadraat. Laten we de vergelijking oplossen. BD kwadraat + x kwadraat/4 = x kwadraat Je kunt x kwadraat noteren als: 4 x kwadraat/ 4 Als je van beide kanten 1/4 x kwadraat aftrekt, dan krijg je: BD kwadraat = 4/4 x kwadraat - 1/4 x kwadraat = = 3/4 x kwadraat Nu nemen we de wortel van beide kanten. Dan krijg je: BD = wortel (3/4 x kwadraat) De wortel van 3/4 is: (wortel 3)/2 en de wortel van x kwadraat is: x BD = wortel (3x/2) We zijn nu klaar: de hypothenusa is x de zijde tegenover de hoek van 30 graden is x/2 en de zijde tegenover de hoek van 60 graden is = wortel (3x/2)