Inleiding in derdemachtswortels

We weten al wat over wortels. Als ik je bijvoorbeeld vertel dat zeven kwadraat gelijk is aan 49, dat is hetzelfde als zeggen dat zeven gelijk is aan de wortel van 49. De wortel is het omgekeerde van het kwadraat van iets. In feite kunnen we het zo schrijven. De wortel van 49, dit is een getal dat keer zichzelf gelijk is aan 49. Als ik dat nummer met zichzelf vermenigvuldig, als ik het kwadrateer, krijg ik 49. En dat gaat op voor elk getal, niet alleen 49. Als ik de wortel van 𝑥 neem en ik kwadrateer het, dan is dat gelijk aan 𝑥. En dat gaat op voor elke 𝑥 waarvan we de wortel kunnen trekken. waarvan we de wortel kunnen trekken. Als je verder gaat in de wiskunde ga je zien dat dit zal veranderen, maar normaal gesproken als je de wortel trekt van iets, mag 𝑥 niet negatief zijn. 𝑥 mag niet negatief zijn. Dit wordt anders als we imaginaire en complexe getallen behandelen, Dit wordt anders als we imaginaire en complexe getallen behandelen, maar normaal nemen bij de wortel aan, dat alles onder het wortelteken niet-negatief is. Want het is moeilijk om een getal te kwadrateren, tenminste van de getallen die we kennen, en een negatief getal als resultaat te krijgen. Dus om dit ding te definiëren is het logisch om te zeggen dat het een niet-negatief moet zijn. Maar goed, deze video gaat niet over de wortel, we kijken alleen even terug, zodat we de derdemachtswortel kunnen behandelen. En bedenk je eens, waarom is het nuttig om te kwadrateren of te worteltrekken? Het is nuttig om de oppervlakte van een vierkant te vinden. Het is nuttig om de oppervlakte van een vierkant te vinden. Als ik een vierkant heb met een zijde van zeven, het is een vierkant, dus alle zijden zijn zeven. En als ik de oppervlakte wil vinden, dan is dat 7 x 7, of 7². Dat is de oppervlakte hiervan. Of als je een vierkant hebt, Of als je een vierkant hebt, alle zijden hebben dezelfde lengte. Als je een vierkant hebt met een oppervlakte 𝑥 Als de oppervlakte 𝑥 is, wat is dan de lengte van de zijden? Dat is de wortel van 𝑥. Alle zijden zijn de wortel van 𝑥 dus het is wortel 𝑥 bij wortel 𝑥. En deze zijde is ook de wortel van 𝑥. En dat is ook de wortel van 𝑥. Daar komt de term vierkantswortel vandaan, waar het vierkant vandaan komt. En wat is de kubiekwortel? Dat is hetzelfde idee. Als ik een kubus neem. Ik heb een kubus. Ik ga mijn best doen snel een kubus te tekenen. Als ik een kubus heb, dan hebben alle dimensies dezelfde lengte. Dus dit is een twee bij twee bij twee kubus. Wat is de inhoud? De inhoud wordt 2 x 2 x 2, dat is twee tot de derde macht, of 2³. Dit is 2³. Soms ook wel "kubieke" omdat dit de inhoud aanduidt van een kubus waar elk van de zijden een lengte van twee hebben en dat is natuurlijk gelijk aan acht. Maar wat als we het andersom doen? Wat als we begonnen met een kubus? Wat als we begonnen met deze inhoud? Wat als we begonnen met de inhoud van een kubus en zeg de inhoud is acht kubieke eenheden, de inhoud is gelijk aan acht en we willen de lengte van de zijden vinden. We willen weten wat 𝑥 is omdat dat 𝑥 is, dat is 𝑥 en dat is 𝑥. Het is een kubus dus alle dimensies hebben dezelfde lengte. Er zijn twee manieren hoe we dit kunnen uitdrukken. We kunnen zeggen dat 𝑥 keer 𝑥 keer 𝑥 of 𝑥³ is gelijk aan 8 of we kunnen het kubiekwortelteken gebruiken, dat is een wortelteken met een kleine drie op de goede plaats. Of we kunnen schrijven dat 𝑥 gelijk is aan, het gaat erg lijken op de vierkantswortel. Dit zou de wortel van acht zijn, maar om het duidelijk te maken dat we de kubiekwortel hebben schrijven we een kleine drie daar. In theorie zou je voor de wortel een kleine twee daar moeten schrijven, maar dat is overbodig. Als er geen getal hier staat, dan nemen mensen aan dat het de vierkantswortel is. Maar als je de kubiekwortel aan het berekenen bent of gebruikelijker, de derdemachtswortel, dan moet je een kleine drie hier schrijven. dan moet je een kleine drie hier schrijven. Op dit plekje in het wortelteken. Dus hiermee zeg je, 𝑥 is een getal dat als ik het tot de derdemacht doe, ik acht krijg. Als dat duidelijk is kunnen we wat voorbeelden doen. Laten we zeggen, ik heb... ik wil de derdemachtswortel van 27 berekenen. ik wil de derdemachtswortel van 27 berekenen. Wat wordt dat? Dit is hetzelfde als zeggen: 𝑥 tot de derde macht is gelijk aan 27. Dit is hetzelfde als zeggen: 𝑥 tot de derde macht is gelijk aan 27. Of 27 is gelijk aan 𝑥 tot de derde macht. Dus wat is 𝑥? Nou, 𝑥 keer 𝑥 keer 𝑥 = 27, het getal waar ik aan denk is drie, dus we kunnen zeggen dat 𝑥 𝑥 is gelijk aan drie. Laat me een vraag stellen. Kunnen we iets schrijven als... De derdemachtswortel van -64. Ik heb het er al over gehad toen we de wortel bespraken, het is ongebruikelijk dat je een negatief getal gebruikt tenminste totdat we leren over imaginaire getallen, weten we nog niet wat we daarmee moeten. Maar kunnen we dat hiermee doen? Als ik iets tot de derde macht doe, kan ik dan een negatief getal krijgen? Natuurlijk. Dus als ik zeg, dit is gelijk aan 𝑥, dit is hetzelfde als zeggen dat -64 is gelijk aan 𝑥 tot de derde macht. En wat kan 𝑥 zijn? Wat gebeurt er als je min vier neemt keer min vier keer min vier? -4 x -4 = 16, maar dan keer -4 is -64 is gelijk aan min 64. Dus wat kan 𝑥 zijn hier? 𝑥 kan gelijk zijn aan min vier. 𝑥 kan gelijk zijn aan min vier. Dus gebaseerd op de wiskunde die we nu kennen kan je de derdemachtswortel nemen van een negatief getal. En je hoeft daar niet te stoppen. Je kan ook een vierdemachtswortel nemen en in dat geval heb je hier een vier, een vijfdemachtswortel, een zesdemachtswortel, een zevendemachtswortel en we hebben het daar later over in je wiskundige carrière. Maar in de meeste gevallen krijg je te maken met de vierkantswortel en af en toe zie je een derdemachtswortel. Nu kan je zeggen, he, kijk, We weten net dat drie tot de derdemacht is 27, je neemt de derdemachtswortel, je krijgt 𝑥, is er een simpelere manier? Als dat ik je een willekeurig getal geef. Als ik zou zeggen, de kubiekwortel van 125. En het eenvoudige antwoord is, de makkelijkste manier om erachter te komen is door ontbinden in factoren. En speciaal in de priemfactoren van dit ding en dan kan je erachter komen. Je kan zeggen, 125 is 5 keer 25, en dat is 5 keer 5. Dus dit is hetzelfde als de derdemachtswortel van vijf tot de derdemacht Dus dit is hetzelfde als de derdemachtswortel van vijf tot de derdemacht wat natuurlijk vijf is. Als je hier een veel groter getal hebt, dan is er geen eenvoudige manier om te berekenen wat de derde of vierdemachtswortel of vijfdemachtswortel is. Zelfs de vierkantswortel kan lastig zijn. Er is geen eenvoudige manier om het te berekenen dan door het te vermenigvuldigen of delen met dingen.